Моделирование непрерывных случайных величин

Случай, когда известна функция распределения

Пусть известна функция распределения непрерывной случайной величины . Требуется разыграть , то есть вычислить последовательность значений .

Для решения этой задачи используем метод обратных функций, который основывается на следующем подходе.

Пусть – монотонно возрастающая непрерывная функция распределения. Тогда на промежутке определена обратная функция .

Теорема: Для заданной функции распределения непрерывной случайной величины , случайная величина , является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале .

Доказательство: Рассмотрим следующие соотношения

. Из соотношения следует Таким образом имеем, , а это есть определение того, что случайная величина распределена по равномерному закону на интервале .

Таким образом, для того чтобы разыграть возможное значение непрерывной случайной величины , зная ее функцию распределения , надо:

1. выбрать случайное число ;
2. приравнять его функции распределения;
3. решить относительно полученное уравнение .

Пример: Разыграть 25 значений непрерывной случайной величины , распределенной равномерно в интервале .

Решение: Функция распределения случайной величины, распределенной равномерно на интервале , имеет вид . В нашем случае получаем ,

Для получения случайных чисел можно использовать таблицы случайных чисел, или псевдослучайные числа в каком-либо математическом (статистическом) пакете, например,MatLab:

x=3+2*rand(1,25)

x = 3.4055 3.3974 4.2076 3.5444 3.3976 3.0305 4.4936 3.8902 4.8636 3.932 3.8373 4.6924 4.0503 3.4053 4.3443 4.6762 3.0393 4.3626 3.759 4.6636 4.0056 4.4189 3.8578 3.6092 3.3793.

Случай, когда известна плотность закона распределения

Если известна плотность распределения вероятностей , то надо:

1. выбрать случайное число ;
2. решить относительно уравнение .

Пример: Задана плотность непрерывной случайной величины Необходимо найти явную формулудля разыгрывания случайной величины.

Решение: Пусть , тогда ,

Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Рассмотрим непрерывную равномерно распределенную на интервале случайную величину . Математическое ожидание .

Дисперсия Рассмотрим сумму независимых распределенных на интервале равномерных случайных величин

Нормируем случайную величину (*).

Из центральной предельной теоремы следует, что (*) При конечных , распределение приближенно нормально. Пусть

Правило: для того чтобы разыграть возможное значение нормально распределенной случайной величины с параметрами , надо сложить двенадцать случайных чисели из полученной суммы вычесть шесть: