Моделирование случайных величин методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло. Оценка погрешности

Так как метод Монте-Карло кроме статистического моделирования имеет приложение к ряду численных методов (нахождение интегралов, решение уравнений), то целесообразно было ввести различные термины.

Итак, статистическое моделирование - это способ изучения сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационных моделей.

Метод Монте-Карло – это численный метод, моделирующий на ЭВМ псевдослучайные числовые последовательности с заданными вероятностными характеристиками.

Методика статистического моделирования состоит из следующих этапов:

1. Моделирование на ЭВМ псевдослучайных последовательностей с заданными законами распределения вероятностей (метод Монте-Карло), имитирующих на ЭВМ случайные значения параметров при каждом испытании;
2. Использование полученных числовых последовательностей в имитационных математических моделях.
3. Статистическая обработка результатов моделирования.

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет вышла статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия города в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел. Название было предложено Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком.

Суть метода Монте-Карло заключается в том, что требуется найти значение некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину , математическое ожидание которой равно : На практике берут оценку математического ожидания, то есть среднее арифметическое , где – число выборочных значений. При этом

Получение возможных значений случайной величины (моделирование) называют разыгрыванием случайной величины.

Оценка погрешности

Найдем верхнюю границу допустимой ошибки с вероятностью (надежностью) при заданном числе испытаний: Тогда , где – выборочное стандартное отклонение, – величина, зависящая от надежности .

Для того чтобы найти наименьшее число испытаний, которые обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки , надо выразить : .

Под статистическим моделированием понимается воспроизведение с помощью вычислительных средств функционирования вероятностной модели некоторого объекта. Для создания такой вероятностной модели необходимо уметь получать с помощью специальной программы – датчика случайных чисел, реализации случайных величин с заданными законами распределения. А также, на основе этих реализаций, вычислять значения величин, характеризующих модель и статистически обрабатывать полученные результаты.

Рассмотрим задачу получения значений случайной величины с заданным законом распределения. Такой процесс принято называть моделированием случайной величины. Случайные величины обычно моделируют с помощью преобразований случайной величины R, равномерно распределенной в интервале .

Определение: Случайными числами называют возможные значения непрерывной случайной величины , равномерно распределенной на интервале .

Рассмотрим два метода моделирования случайных величин – дискретных и непрерывных.