Тема 10 «Координаты вектора – 1»

Вариант №1

1) Найдите координаты вектора ,

2) Даны . Найдите координаты вектора .

3) Точки А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами диаметра окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус.

4) Даны точки А(0;4;–1), В(1;3;0),С(0;2;5). Найдите длину вектора .

Вариант №2

1) Найдите координаты вектора , .

2) Даны . Найдите координаты вектора .

3) Треугольник АВС задан координатами его вершин А(3;–4;2),        В(–3;2;–4), С(1;3; –1). Найти длину медианы СМ.

4) Даны точки А(1;-1;0), В(-3;-1;2), С(-1;2;1).Найдите длину вектора .

 Тема «Скалярное произведение»

1)  Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁ равно 2. Вычислите скалярное произведение векторов а)    б) .

2) Вычислите косинус угла между векторами и выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) образуют эти векторы, если

а)     б)

3) Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁ равно р. Вычислите

а) угол между прямыми АВ₁ и ВС₁ (А₁В и АD₁)

б) расстояние между серединами отрезков АВ₁ и ВС₁ (АС₁ и В₁С)

4) Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если а)А( ;1;0);В(0;0; ); С(0;2;0); D( ;1; )         б) А(6;–4;8); В(8;–2;4); С(12;–6;4); D(14;–6;2)     

Тема 7 «Объём призмы – 1»

Вариант №1

Основание прямой призмы – ромб со стороной 13см и одной из диагоналей равной 24см. Найдите объём призмы, если диагональ боковой грани 14см.

Вариант №2

Основание прямой призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ – параллелограмм АВСD. АВ = 12см, АD = 15см, ВАD = . Найдите объём призмы, если диагональ DС₁ боковой грани равна 13см.

Тема 7 «Объёмы тел»

Вариант №1

1) Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12см и составляет с боковым ребром угол .

2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом m и противолежащим ему углом .

Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.

Вариант №2

1) Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12см и образует с высотой угол .

2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольник, одна из сторон которого равна р и образует с его диагональю угол . Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.

 

Тема 6 «Взаимное расположение прямых в пространстве – 2»

Вариант №1

1) Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

2) а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются.

б) Вычислите площадь четырёхугольника ABCD, если AC BD, AC = 10см; BD = 12см.

Вариант №2

1) Даны две пересекающие прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

2) а) Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения диагоналей. Известно, что точки A, B и О лежат в плоскости . Докажите, что точки С и D также лежат в плоскости .

б) Вычислите площадь прямоугольника ABCD, если AC = 8см; .

Тема 6 «Параллельность прямой и плоскости»

Вариант №1

Дан треугольник ABC, . Через прямую АС проходит плоскость , не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. а) Докажите, что .

б) Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4см.

Вариант №2

Дан треугольник ABC, . Через прямую МК проходит плоскость , параллельная прямой AC.

а) Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3.

б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14см.