Потенциальная энергия заряда в электрическом поле

Сравним гравитационное взаимодействие тел и электростатическое взаимодействие зарядов. Тело массой т в поле тяжести Земли обладает потенциальной энергией. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

(Здесь и далее мы будем обозначать энергию буквой W.) Точно так же, как тело массой т в поле силы тяжести обладает потенциальной энергией, пропорциональной массе тела, электрический заряд в электростатическом поле обладает потенциальной энергией W_p пропорциональной заряду q. Работа сил электростатического поля А равна изменению потенциальной энергии заряда в электрическом поле, взятому с противоположным знаком:

12. Криволинейный интеграл произвольного вектора A вдоль какого-либо произвольного замкнутого контура L называется циркуляцией этого вектора вдоль контура L.

.

Интеграл есть циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура L. Циркуляция вектора A по произвольному замкнутому контуру L, проведенному вокруг постоянного тока I, равна:

, (в "СИ")

, (в гауссовой системе)

где c = 3·10¹⁰ см/с - скорость света.

Вычисление циркуляции вектора В по замкнутому контуру

Рис. 1

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру вокруг постоянного тока не зависит от вида контура и определяется только силой тока.

Ток I считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта.

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру, не охватывающему ток, равна нулю.

Допустим теперь, что магнитное поле создается несколькими постоянными токами. Магнитные поля отдельных токов удовлетворяют принципу суперпозиции, а циркуляции этих полей по одному и тому же замкнутому контуру складываются алгебраически. В результате получаем: циркуляция вектора индукции магнитного поля В постоянных токов по произвольному замкнутому контуру равна сумме всех токов, охватываемых контуром, умноженной на m₀ (в системе "СИ") и на 4p/c (в гауссовой системе). Это положение называется теоремой о циркуляции вектора индукции магнитного поля В или законом полного тока.

, в ("СИ")

. (в гауссовой системе)

К теореме о циркуляции вектора В

Рис. 2

Точкой» обозначены токи, текущие перпендикулярно чертежу на нас, "крестиком" - токи, текущие перпендикулярно чертежу от нас.

Если ток течет по объему и плотность тока j конечна, то:

,

где S - любая поверхность, натянутая на контур, по которому вычисляется циркуляция.

В этом случае теорема о циркуляции вектора В записывается следующим образом:

, (в "СИ").

Теорема о циркуляции в дифференциальной форме имеет вид:

rot B = m₀×j, (в "СИ")

rot B = [4p/c]×j. (в гауссовой системе)

Это уравнение имеет дифференциальный характер и справедливо для любой точки.