Криволинейное движение

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции v_xи v_y ее скорости на осиOx и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам

Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением где r – радиус окружности.

Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости.

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:

,

- нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению:

v – мгновенное значение скорости, r – радиус кривизна траектории в данной точке.

- тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

.

Кроме центростремительного ускорения, важнейшими характе­ристиками равномерного движения по окружности являются период и частота обращения.

Период обращения— это время, за которое тело совершается один оборот.

Обозначается период буквой Т (с) и определяется по формуле:

где t — время обращения, п — число оборотов, совершенных за это время.

Частота обращения— это величина, численно равная числу оборотов, совершенных за единицу времени.

Обозначается частота греческой буквой (ню) и находится по формуле:

Измеряется частота в 1/с.

Период и частота — величины взаимно обратные:

Если тело, двигаясь по окружности со скоростью v, делает один оборот, то пройденный этим телом путь можно найти, умножив ско­рость v на время одного оборота:

l = vT. С другой стороны, этот путь равен длине окружности 2πr. Поэтому

vT = 2πr,

где w (с^-1) - угловая скорость.

При неизменной частоте обращения центростремительное ускорение прямо пропорционально расстоянию от движущейся частицы до центра вращения.

Угловая скорость (w) – величина, равная отношению угла поворота радиуса, на котором находится вращающаяся точка, к промежутку времени, за который произошел этот поворот:

.

Связь между линейной и угловой скоростями:

v= wr.

Движение тела можно считать известным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка. Самое простое движение твердых тел – поступательное. Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается параллельно самой себе.

4.

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Справочные сведения

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) материальной точки имеет вид , где – результирующая сила, действующая на материальную точку массы , – импульс материальной точки. В случае основной закон динамики принимает вид . Центр масс системы материальных точек определяется по формуле , где – масса всей системы, – радиус-вектор точки с массой . В случае непрерывного распределения массы формула центра масс принимает вид . Скорость центра масс системы . Закон движения центра масс , где – результирующая внешних сил. Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского) , где – реактивная сила. Закон Гука . Сила трения скольжения .

Примеры решения задач

При решении задач по динамике материальной точки необходимо прежде всего выяснить, какие силы действуют на тела рассматриваемой механической системы и изобразить их на рисунке. Затем нужно выбрать систему отсчета, относительно которой рассматривается движение. Координатные оси системы целесообразно располагать так, чтобы проекции сил на эти оси определялись наиболее просто. Для каждого тела системы необходимо записать второй закон Ньютона в векторной форме и спроектировать его на оси выбранной системы координат. Иногда оказывается, что полученных динамических уравнений недостаточно для решения задачи (в случае движения системы тел). Тогда необходимо дополнить систему уравнений кинематическими условиями, обусловленными связями, существующими между телами. Рассмотрим конкретные примеры. Задача 1. Частица массы со скоростью влетает в область действия тормозящей силы под углом к направлению этой силы и вылетает под углом β. Определить ширину l области действия тормозящей силы. Какой должна быть ширина области l0, чтобы частица могла из нее вылететь?

Решение

Будем рассматривать движение частицы в проекциях на направление действия тормозящей силы и перпендикулярное к нему (рис. 1.2.1). Рис. 1.2.1 В первом случае движение будет равнозамедленным, и его кинематические уравнения можно записать в виде , (1.2.1) Движение в перпендикулярном к вектору силы направлении будет равномерным с постоянной скоростью , и его уравнение примет вид . По условию через некоторое время вектор скорости образует с вектором силы угол β, откуда следует . (1.2.2) Из (1.2.2) находим время движения частицы в области действия тормозящей силы . Согласно второму закону Ньютона , следовательно, . (1.2.3) Подставляя (1.2.3) в (1.2.1), после несложных преобразований находим ширину области действия тормозящей силы . (1.2.4) Предельно возможная ширина области действия силы может быть получена из (1.2.4), если положить (в этот момент скорость частицы в направлении действия силы обращается в ноль). В результате получаем . Задача 2. Каковы должны быть модуль и направление минимальной силы , приложенной к бруску, лежащему на горизонтальном столе, чтобы сдвинуть его с места? Масса бруска , коэффициент трения между столом и бруском .