Основная формула интегрального исчисления.

Пусть f(x) непрерывна на [a,b], тогда будет являться первообразной функцией для f(x), т.к. ( ). Если теперь F(x) любая первообразная для f(x), то . Для определения с(const).

x=b (*)

Формула Ньютона-Лейбница. Основная формула интегрального исчисления.

Значение о.и. выражается разностью двух значений при x=a и x=b. Если применить теорему о среднем и учтем, что , то получим, что

Получили формулу для конечных приращений Лагранжа для F(x). Таким образом, основная формула (*) устанавливает связь между теоремой о среднем, дифференциальным и интегральным исчислении.

 

Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Пусть надо вычислить , где f(x) непрерывная на [a,b] функция. Положим . Причем функцию наложим условие. должна быть непрерывна на промежутке

1)

2)

3) на

Тогда справедлива формула

(1)

Т.к. по предположению подынтегральная функция непрерывна , то существует и соответствующие неопределенные интегралы слева и справа в (1) и можно воспользоваться основной формулой (*).

Причем, если F(x)- первообразная функции f(x), то , то первообразная .

 

Замечание. В отличие от замены в неопределенном интеграле, здесь не надо возвращаться к первой переменной x. Т.к., если вычислим второй интеграл по t, представляют собой число, то тем самым вычислим и первый интеграл.

Интегрирование по частям.

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление площадей.

а) и непрерывна, тогда площадь криволинейной трапеции

б) x=a, x=b и y=f(x), y=g(x); на [a,b]

Замечание :

в) Пусть кривая задана параметрическим уравнением.

В данном случае мы не знаем явного задания кривой, поэтому при вычислении площади делаем замену, что бы свести к известным формулам.

x(t)-убывает

Пример(Вычислить площадь фигуры)

Вычисление площади в полярной системе координат.

Если линия, ограничивающая фигуру, задана в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимает криволинейный сектор, то есть фигуру ограниченную и графиком

Разобьем (а вместе с ним и весь сектор)на частичные сектора

Каждый частичный сектор заменим круговым сектором. То есть будем считать, что на каждом из частичных промежутков функция изменится мало и приблизительно равна

Тогда, площадь фигуры, состоит из круговых секторов, каждый из которых имеет площадь ,будет равна .

Устремив и переходя к пределу, получаем