Определение определенного интеграла.

Пусть на промежутке [a,b] задана функция

Определение 1: Разбиением промежутка [a,b] будем называть любой набор точек вида . Если в каждом из частичных промежутков выбрана точка то говорят, что задано разбиение с фиксированными точками. Обозначим

Возьмем некоторое разбиение промежутка [a,b] и составим сумму Наибольшую из разностей

Определение 2: Если существует конечный предел при то он называется о.и. от функции по промежутку [a,b]. Обозначается . a и b называют верхний и нижний пределы интегрирования.

Итак, непосредственно по определению (3) . называется интегрируемой суммой для функции f по разбиению P. Равенство (3) можно понимать в том случае, что последовательное значение интегральной суммы, отвечающей любой основной последовательности разбиения промежутка, всегда стремится к пределу I как не выбирать при этом точки . Теперь формулы (1) и (2) получают более конкретный смысл (1’) В этом заключается геометрический смысл о.и.. (2’) – механический смысл о.и.

Функции, которые имеют такой интеграл, называются интегрируемые по Риману, Риманов интеграл. Множество интегрируемых на [a,b] функций обозначаем R([a,b]). Выясним условие при которых интегральная сумма имеет конечный предел, то есть существует о.и..

Заметим, что определение 2 может быть приложено лишь к ограниченной функции. Если бы была не ограничена на [a,b], то при любом разбиении промежутка [a,b], хотя бы в каком-либо частичном промежутков она осталась бы неограниченной поэтому интегральная сумма за счет выбранных была бы неограниченна и соответственно конечного предела существовать не могло.

Итак, интегрируемая функция необходимо ограничивать. В дальнейшем будем считать ограниченную .

14 Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу.

1) Обозначим и соответственно нижнюю и верхнюю границы для функции на промежутке

Составим суммы

(нижняя сумма Дарбу) и (верхняя сумма Дарбу)

Из определения нижней и верхней границ известно, что . Поэтому, умножив все части неравенства и просуммировав их, получим, что

При заданном разбиении промежутка, суммы Дарбу служат точными нижней и верхней границами для интегральной суммы. Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:

1. Если к имеющимся точкам деления промежутка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого только возрасти, а верхняя только уменьшится.

Доказательство:

Пусть задано разбиение R. Добавим к этому разбиению еще одну точку . Обозначим через новую полученную сумму Дарбу. От прежней суммы она будет отличаться тем, что в промежутку соответствует слагаемое , а в новой этому же промежутку будет соответствовать , где верхняя граница на , а на .

Т.к. было точной верхней границей на всем промежутке , то

;

Тогда получается, что

Получаем, что .

Для нижней суммы Дарбу аналогично.

 

2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей к другому разбиению промежутка.

Доказательство:

Рассмотрим разбиение промежутка [a,b] и рассмотрим и . Рассмотрим теперь другое, не связанное с первым разбиение. Ему будут соответствовать суммы и . Докажем, что

Объединим точки деления первого и второго разбиения, то есть получим третье вспомогательное разбиение, которому будут отвечать суммы и . Т.к. третье разбиение получено из первого добавлением новых точек, то согласно свойству 1 получаем, что . Сопоставив второе и третье разбиение, также заключаем, что , но т.к. , то получим ;

Замечание: Из доказанного следует, что все множители нижних сумм {S} ограничено сверху (например, любой верхней суммой) в таком случае это множество имеет конечную верхнюю точную границу. для всех нижних сумм т.к. множество верхних сумм {S} оказывается ограничено снизу ( ), то оно имеет точную нижнюю границу причем . В результате имеем (1).

Числа и называют нижним и верхним интегралами Дарбу.