Графический способ решения уравнений

Уравнение можно рассматривать как задачу об отыскании таких значений переменной х , при которых значения двух данных функций равны.

Рассмотрим уравнение вида . Графический способ решения такого вида уравнений заключается в отыскании приближенных значений абсцисс точек пересечения графиков функций и в одной и той же системе координат.

 

х2

х1

х

у

- 3

- 2

- 1

Пример: Решите графически уравнение: .

Решение:

у = х²

х	- 3	- 2	- 1
у

х	- 3	- 2	- 1
у

Ответ: х₁ » - 0,7; х₂ = 2.

Упражнения: Решите графически уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) .

 

3. Показательные неравенства.

Определение: Показательными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную в показателе степени.

Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции : показательная функция возрастает при и убывает при .

 

Пример: Решить неравенства:

1. .

Решение: .

Ответ: .

2. .

Решение: ;

а = 1> 0 ветви параболы направлены вверх;

х ² + 3х = 0; ;

х

+

+

-

- 3

Ответ:

3. .

Решение:

; ; ; ; ;

; ; .

Ответ:

Упражнения: Решить неравенства:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11.

 

4. Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество.

 

Необходимость возникновения нового понятия появилась из практической потребности при решении конкретных задач.

 

х

у

- 3

- 2

- 1

Задача: Найти показатель степени с , в которую надо возвести данное основание а, чтобы получитьчисло b :

а ^с= b

2 ^с = 2 Þ с = 1;

2 ^с = 3 Þ с = 1,…;

2 ^с = 4 Þ с = 2;

2 ^с = 7 Þ с = 2,…;

2 ^с = 8 Þ с = 3;

Определение: Логарифмомчисла b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести данное основание а, чтобы получитьчисло b.

Вывод: .

- основное логарифмическое тождество.

Замечание:

1. Логарифмы чисел, вычисленные по одному и тому же основанию, образуют систему логарифмов.
2. Систему логарифмов по основанию 10 называют системой десятичных логарифмов. Обозначение: .
3. Систему логарифмов по основанию е » 2,718281828459045 называют системой натуральных логарифмов. Обозначение: .

Пример:

1. Чему равен ?

Решение: .

Ответ: .

2. При каком основании ?

Решение: .

Ответ: .

3. Найти число, логарифм которого при основании 64 равен .

Решение: .

Ответ: .

Упражнения: Вычислить: ;

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) ;
13) .

 

5. Свойства логарифмов. Логарифмирование и потенцирование.

 

1) , так как .

2) , так как .

3) Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:

.

4) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя: .

5) Логарифм степени положительного числа равен показателю степени, умноженному на логарифм основания: .

6) Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:

.

Пример: Вычислить:

1. ;
2. ;
3. ;
4. 

;

1. ;
2. .

Определение: Логарифмированием данного выражения называется представление логарифма этого выражения через логарифмы входящих в него элементов.

Замечание: Сумма и разность выражений не логарифмируются.

Пример:

1. Прологарифмировать данное выражение:

1) .

Решение: .

2) .

Решение:

3) .

Решение:

.

.

2. Вычислить: .

Решение: .

Ответ: .

Определение: Потенцированием называется нахождение выражения по его логарифму. Потенцирование – это действие,обратное логарифмированию.

Пример: Пропотенцировать : .

Решение:

;

.

Ответ: .

Упражнения:

1. Вычислить:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8)

1. Прологарифмировать данное выражение:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) .

1. Пропотенцировать:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

1. Найти х , если:

1) ;

2) ;

3) .

 

6. Логарифмическая функция, ее свойства и графики.

Определение: Функция, обратная показательной функции, называется логарифмической.

- показательная функция;

Û ;

- логарифмическая функция.

1. Область определения функции: , так как по определению
2. Множество значений функции: , так как показатель степени может быть любым действительным числом.

Вывод: График логарифмической функции расположен в первой и четвертой координатных четвертях.

1. Функция не является ни четной ни нечетной, так как её область определения не симметрична относительно начала координат.

1. Функция является монотонной:

1) при 0 < а < 1 – убывающая функция;

2) при а > 1 а = 2 – возрастающая функция.

1. Функция является обратимой, так как она монотонна:

- логарифмическая функция;

- показательная функция.

1. у = 0; ; х = 1 - нуль функции.
2. Промежутки знакопостоянства:

1) при 0 < а < 1

;

.

2) при а > 1

;

.

1. Функция является неограниченной сверху и снизу.

1. Любая логарифмическая функция проходит через точку (1; 0) , так как при х = 1 .

Замечание: Для построения графика логарифмической функции можно воспользоваться свойством графиков взаимно обратных функций: графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть относительно прямой у = х.

 

(0 < а < 1)

х
у	- 3	- 2	- 1

х

у

- 3

- 2

- 1

- 1

- 2

- 3

у = х

(а > 1)

х
у	- 3	- 2	- 1

х

у

- 3

- 2

- 1

- 1

- 2

- 3

у = х

Упражнения:

1. Найти область определения выражения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) .

1. Постройте график функции и перечислите ее основные свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

 

7. Логарифмические уравнения.

Определение: Уравнения, содержащие переменную только под знаком логарифма или в основании логарифма, называются логарифмическими.

Замечание: Простейшими логарифмическими уравнениями являются уравнения вида и.

1) Логарифмические уравнения, решаемые с помощью определения логарифма.

 

 

Пример: Решить уравнения:

1. .

Решение: Û Û Û .

Ответ: .

2. .

Решение: Û Û Û .

Ответ: х = - 16.

3. .

Решение:

Û Û Û

Û Û

 

Ответ: х = 5.

4. .

Решение:

Û Û Û Û

Û

Ответ: .

Упражнения: Решить уравнения:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. .

2) Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием.

 

Вывод: При решении логарифмического уравнения находят его область определения и проверяют корни на принадлежность области определения данного уравнения или делают проверку всех найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

 

Пример: Решить уравнения:

1. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

Û Û .

Û Þ

Þ Þ Û ;

;

; ; х₁ =11; х₂ = 19.

Проверка:

Все корни принадлежат области определения уравнения.

; .

Ответ: х₁ =11; х₂ = 19.

2. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

Û Û .

Û Û

Û Þ Û Û

Û Û .

Проверка:

.

Ответ: х = 8.

3. .

Решение: Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

Û Û .

Û Û

Û Û Þ

Þ Û Û

Û Û Û

Û

;

; ; х₁ = 6; х₂ = 14.

Û

Проверка: Все корни принадлежат области определения уравнения.

; ;

Ответ: х₁ = 6; х₂ = 14.

4. .

Решение:

Û Þ Û Û ; ;

; ; х₁ = - 3; х₂ = 5.

Проверка:

х₁ = - 3; ;

х₁ = - 3 не является корнем данного уравнения, так как не существует.

х₂ = 5; .

Ответ: х =5.

Упражнения: Решить уравнения:

1. ; 7. ;

2. ; 8.

3. ; 9.

4. ; 10.

5. ; 11.

6. ; 12.

 

3) Логарифмические уравнения степени выше первой относительно логарифма.

Замечание: При решении уравнений этого типа нужно обратить внимание на преобразования вида:

 

1. ;

2. .

Пример: Решить уравнения:

1. .

Решение:

Û ;

Введем новую переменную : ;

;

; ; ;

; ; х₁ = 20.

; ; х₂ = 500.

Проверка:

х₁ = 20;

х₂ = 500;

Ответ: х₁ = 20; х₂ = 500 .

1. .

Решение:

Введем новую переменную: у = lgx .

Û Û

Û Û Û

Û Û Û Û

; ;

; ; у₁ = 2; у₂ = 3;

Ответ: х₁ = 100; х₂ = 1000.

Упражнения: Решить уравнения:

;	;
;	;
;	;
;	8. ;

 

4) Уравнения, содержащие выражения вида

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании степени, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.

При логарифмировании уравнения возможна потеря корней. Однако, если логарифмировать уравнение , обе части которого положительны на всей области определения уравнения, то потери корней не произойдет. В этом случае говорят, что уравнения и равносильны на всей области определения данного уравнения.

 

Пример: Решить уравнения:

1. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма:

.

В области определения уравнения выражения, содержащиеся в обеих его частях, принимают только положительные значения. Следовательно, можно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10.

Таким образом, на области определения данного уравнения следующие уравнения равносильны:

Û Û Û Û Û х₁ = 0,01 или х₂ =100.

Проверка:

Все корни принадлежат области определения уравнения.

;

Ответ: х₁ = 0,01; х₂ =100.

2. .

Решение:

Найдем область определения уравнения, используя определение логарифма: