Функция является обратимой, так как она монотонна

6. Нулей функции нет, так как уравнение у = 0 , то есть корней не имеет.

7. Промежутки знакопостоянства: при , так как

при

при

при

8. Функция ограничена снизу, так как при .

9. Любая показательная функция проходит через точку (0; 1) , так как при

х = 0 .

Замечание:

1) При а > 1функция возрастает тем быстрее, чем больше а;

2) При 0 < а < 1 функция убывает тем быстрее, чем меньше а.

0 < а < 1

х	- 3	- 2	- 1
у

а > 1 а = 2

х	- 3	- 2	- 1
у

Упражнения:

1. Перечислите свойства функции и постройте ее график:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите множество значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Сравните числа:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

5. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая – убывающей на множестве действительных чисел R:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Показательные уравнения.

Определение: Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

1) , а > 0 , а ¹ 1

; ; ;

; ; х₁ = 2; х₂ = 3.

Ответ: х₁ = 2; х₂ = 3.

Упражнения: Решить уравнение :

1. а = 2 f (x)= x²- 40 x + 300;

2. а = 5 f (x)= (x²+ x - 2)(3- x);

3. а = 3 ;

4. а = 2 f (x)= x²- 7 x + 12;

5. a = 0,5 .

2) , а > 0 , а ¹ 1

 

Левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. В этом случае корнями уравнения будут корни уравнения .

 

.

 

Пример: Решить уравнения:

1) .

Решение: ; ; ;

; ; ; ;

; ; х₁ = ; х₂ = 1.

Ответ: х₁ = ; х₂ = 1.

2) .

Решение: ; 128 = 2⁷;

; ; 6 х = 7; х = .

Ответ: х = .

3) .

Решение:

; ; ; ;

; ; ;

; ; х₁ = - 1; х₂ = 3.

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 3.

Упражнения: Решить уравнения:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. .

3) , а > 0 , а ¹ 1 , b > 0 , b ¹ 1 , а ¹ b

 

Уравнение решается делением обеих частей на .

 

Пример: Решить уравнения:

1) .

Решение: Разделим обе части уравнения на .

; ; ; х - 2 = 0; х = 2.

Ответ: х = 2.

2) .

Решение: ; ; ;

Умножим обе части уравнения на .

; ; ; х - 3 = 0; х = 3.

Ответ: х = 3.

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) .

4) , а > 0 , а ¹ 1

 

Особенностью уравнения является наличие одного и того же коэффициента перед х. Для решения этого уравнения выносят за скобки общий множитель , где k _i - наименьшее из чисел k₀ , k₁ , k₂ , … , k_п .

Пример:

1) .

Решение: ; ; ; ; ; ; х = 4.

Ответ: х = 4.

2) .

Решение:

; ;

; ;

; ; 3х - 2 = 2х - 2; 3х - 2х = 2 - 2; х = 0.

Ответ: х = 0.

3) .

Решение:

; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ; ; .

Ответ: .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;

5) , а > 0 , а ¹ 1

Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение: . Решив квадратное уравнение, найдем у₁, у₂ . После этого решение уравнения сводится к решениюдвух уравнений: , .

 

Пример:

1) .

Решение: ; ; ;

; ; ;

; ; у₁ = - 4; у₂ = 2;

- уравнение корней не имеет, так как ;

; х = 1.

Ответ: х = 1.

2) .

Решение:

; ; ;

; ; ;

; ; у₁ = 1; у₂ = 3;

; х² - 1 = 0; х² = 1; х₁ = - 1; х₂ = 1;

; х² - 1 = 1; х² = 2; х₃ = ; х₄ = .

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 1; х₃ = ; х₄ = .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) .

6) , а > 0 , а ¹ 1, b > 0 , b ¹ 1.

Отметим, что в выражении показатели степеней в первом и третьем слагаемых вдвое больше показателей степеней во втором слагаемом. Такие выражения называются однородными 2-ого порядка. А уравнения вида называются однородными 2-ого порядка. Разделив уравнение на , получим: .

Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение:. Решив квадратное уравнение, найдем у₁, у₂ и, возвращаясь к первоначальной переменной, получим два уравнения и .

 

Пример: .

Решение: ; ;

Разделим обе части уравнения на :

; ;

; ; ;

; ; у₁ = ; у₂ = 1;

; х₁ = 1; ; х₂ = 0.

Ответ: х₁ = 1; х₂ = 0 .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ;	2) ;
3) ;	4) .