Вычисление и минимизация квадратичной интегральной оценки при типовом воздействии

Квадратичная интегральная оценка вычисляется при единичном ступенчатом воздействии по заданному каналу.

Запишем передаточную функцию замкнутой скорректированной системы Ф(р), по заданному каналу «x_З-ɛ», и после преобразований и подстановки численных значений постоянных времени представим ее в соответствии с формулой (3.18 стр.23 [2]).

На основании формулы (3.20 стр.23 [2]) запишем выражение для изображения переходной составляющей управляемой величины.

где – изображение ступенчатого воздействия.

Подставим в формулу (57) выражение (56)

Преобразуем выражение (58), и запишем его в соответствии с формулой (3.22 стр.23 [2]) в виде

где d₀ = 0,03564; d₁ = 0,4284; d₂ = 1,46; d₃ = (0,88k_рк+1); d₄ = k_рк.

Для вычисления квадратичной оценки по изображению (59) используем равенство Парсеваля (формулы (6.73) и (6.74) [1]), которое имеет вид

где n – степень знаменателя выражения (59), n=4;

∆ - определитель, составленный из коэффициентов d_i по правилу составления определителя Гурвица; ∆_v – определитель, получаемый из определителя ∆ путем замены верхней строки коэффициентов на строку с коэффициентами v₀, v₁, v₂, v₃.

Для получения коэффициентов полинома V(jω) найдем квадрат модуля полинома C(jω), а затем все слагаемые с четными степенями ω приведем к виду с четными степенями (jω),

 

откуда v₀ = -0,0013; v₁ = 0,0795; v₂ = -1,2748; v₃ = 1.

Составим определитель ∆ и подставим в него численные значения коэффициентов d_i из формулы (59)

 

Составим определитель ∆_v и подставим в него численные значения коэффициентов v_i из формулы (63).

Подставив выражение (64) и (65) в формулу (60), получим

Подставив в формулу (66) различные численные значения k_рк , составим таблицу (табл.5)

Таблица 5 – Зависимость квадратичной интегральной оценки от коэффициента k_рк.

kрк
Qкв	0,1273	0,0947	0,0807	0,0745	0,0733	0,0730	0,0753	0,0820	0,0952	0,1213	0,1837

 

На основании данных табл. 5 построим график функции (рис.7), откуда определим оптимальное численное значение коэффициента k_рк, равное 11,74.

Так как по заданию курсового проекта следовало найти оптимальное значение передаточного коэффициента управляющего устройства k_у, то переход от коэффициента k_рк к коэффициенту k_у осуществим по формуле

Таким образом, оптимальное значение передаточного коэффициента управляющего устройства равно 13,04.

Рис.7 – Зависимость квадратичной интегральной оценки скорректированной системы от коэффициента k_рк.

Список литературы

 

1. Лукас, В.А. Теория управления техническими системами: учебное пособие для вузов – 4-е издание, исправленное. – Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2005. – 677 с.

2. Барановский В.П. Теория автоматического управления: учебное пособие по курсовому проектированию – 3-е издание, исправленное. – Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2009. – 110 с.