Построение области устойчивости скорректированной системы

Исходным выражением для построения является характеристическое уравнение замкнутого контура скорректированной системы.

Преобразуем выражение (34) и сгруппируем подобные члены.

Произведем в уравнении (35) подстановку и получим тождество.

В выражении (36) сгруппируем действительную и мнимую части.

a

b

Так как комплексная величина a+jb равна нулю только в том случае, если одновременно равны нулю её действительная и мнимая части, то тождество (37) эквивалентно двум уравнениям.

Упорядочим систему уравнений (38) с учетом того, что параметр, стоящий в обоих уравнениях на первом месте, будем откладывать по оси абсцисс, а параметр, стоящий на втором месте, - по оси ординат. Для этого в обоих уравнениях сгруппируем отдельно члены, зависящие и не зависящие от параметров k_рк и Т_о.

Подставим в систему уравнений (39) численные значения постоянных времени с учетом того, что

А₁ В₁ С₁

А₂ В₂ С₂

Решим систему уравнений (40) методом определителей.

Где

Подставив выражения (43)-(45) в формулы (41) и (42), получим.

Вычислим значения функций и при изменении частоты ω от нуля до и результаты сведем в таблицу 2. Так как функции и являются чётными, то кривая D-разбиения дважды проходит через одни и те же точки (при изменении частоты ω от до нуля и от нуля до ).

Таблица 2 – Граница области устойчивости системы в плоскости параметров k_и и Т_о.

На рис.5 изображена кривая D-разбиения, построенная по данным табл.2. Кривую D-разбиения штрихуем по следующим правилам (стр.290 [1]).

Если определитель ∆ > 0, то штриховка наносится слева (при движении вдоль кривой в сторону увеличения ω); если определитель ∆ < 0, то штриховка наносится справа.

Так как при прохождении переменной ω через нуль знак главного определителя ∆ меняется на противоположный, то штриховка кривой D-разбиения всегда двойная.

Рис.5 – Область устойчивости скорректированной системы в плоскости параметров k_и и T_о.

Дополним кривую D-разбиения особыми прямыми, уравнения которых имеют следующий вид: a₀=0, отсюда T_o=0; a_n=0, отсюда и . Особые прямые штрихуем по следующим правилам (стр.291 [1]).

Особые прямые, соответствующие ω_и=0 и ω_и= , штрихуют один раз. В точках пересечения (или сопряжения) особой прямой с основной кривой D-разбиения, соответствующих ω=ω_и, заштрихованные стороны прямой и кривой должны быть обращены друг к другу. Причем, если в точке пересечения определитель ∆ меняет знак, то штриховка особой прямой переходит на противоположную сторону прямой. Если же знак определителя не меняется, то направление штриховки остается прежним.

На рис.5 откладываем точку А с заданными координатами k_и и T_о (k_и=1; T_о=1,1). Заданная точка входит в область устойчивости скорректированной системы.