Способы задания функции

Наиболее часто используются следующие способы задания функции: 1) аналитический, 2) графический; 3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.

В общем случае всякий закон, определяющий функцию , задается некоторым текстом. Наиболее распространенная форма такого текста – формула, позволяющая вычислять значение функции по заданному значению аргумента . Способ задания функции с помощью формул называется аналитическим.

Аналитический способ, в свою очередь, подразделяется на три способа: явный, неявный и параметрический.

Явный способ – это непосредственное выражение зависимой переменной через независимую переменную в виде формулы : , и т.п.

Неявный способ. Пусть дано уравнение вида и пусть существует такое множество , что для каждого определено, по крайней мере, одно число , удовлетворяющее уравнению . Обозначим одно из таких чисел через и поставим его в соответствие числу . В результате имеем функцию , которая осуществляет это соответствие, определенную на множестве , и такую, что для всех . В этом случае говорят, что функция задается неявно уравнением . Уравнение может определять не одну функцию, а некоторое множество неявно заданных функций.

Примеры. а) Из уравнения следует и , т.е данное уравнение задает неявно две функции.

б) Из уравнения невозможно получить ни аналитическую зависимость , ни зависимость .

Параметрический способ задания функции – это выражения зависимой и независимой переменных через третью переменную, называемую параметром:

, ,

где – параметр, – область определения функций и (область изменения параметра ).

Замечание. Если рассматривать как уравнение для определения , из которого можно получить как функцию от : , то подставляя в функцию вместо его выражение через , получим явное задание от в виде .

Пример. Функция задана параметрически: .

Когда параметр принимает значения из , принимает значения из множества , а – из множества . Решить уравнение относительно невозможно (нельзя явно выразить через ), а потому нельзя получить явную зависимость от в виде .

При табличном способе задания функции «текст», задающий соответствие , «записывается» в виде таблицы, в которой в одной строке расписываются значения аргумента, а в другой строке – соответствующие значения функции.

Напомним графический способ задания функции. Введем на плоскости прямоугольную систему координат. Пусть – числовая функция с областью определения , тогда график функции есть множество точек плоскости с координатами , где , (т.е. множество точек с координатами ). Строго говоря, точное построение графика функции невозможно, так как любое геометрическое изображение точек, отрезков, кривых и других объектов можно сделать только приближенно, поэтому рисунок, на самом деле, является только эскизом графика. Однако, если кривая построена достаточно точно, то ее также называют графиком функции. График функции более наглядно отражает такие качественные характеристики функций как монотонность, выпуклость вверх и вниз, наличие асимптот (более подробно эти характеристики будут рассмотрены ниже).