Понятие функции (отображение)

Функция

В элементарной математике мы встречаемся с разными объектами, которые называются словом функция: логарифмическая функция, показательная функция, тригонометрическая функция и другие. Напомним основные факты, относящиеся к этим объектам.

Пусть и – некоторые множества. Будем говорить, что задана функция, определенная на со значениями в , если указан закон , сопоставляющий каждому элементу некоторый элемент .

Так для числовых множеств и , если под понимается функция , то , если – функция , то .

Множество называется областью определения (областью существования) функции, а элементы этого множества называются аргументами или независимыми переменными.

В простейшем случае есть открытый промежуток (интервал) , или полуоткрытый промежуток (полуинтервал) или , где и – некоторые числа или символы и (в последних случаях равенства исключаются).

Элемент , соответствующий конкретному значению , называют значением функции от элемента . При изменении аргумента значение меняется по заданному закону, поэтому элемент называют зависимой переменной.

Множество значений , которые принимает функция , когда пробегает все ( принимает все значения из ) будем называть множеством значений или областью значений функции.

Если – некоторая точка числовой оси, а соответствующее значение – точка другой числовой оси, то функцию называют отображением точки в точку .

При этом – образ точки , а точка прообраз точки .

Таким образом, в зависимости от природы множеств и термин функция имеет ряд синонимов: отображение, преобразование, оператор и др. Наряду с обозначением для функции используют и такие: , , , .

Итак, понятие функции состоит из трех частей:

1) области определения ;

2) множества , содержащего область значений ;

3) правила, которое для каждого элемента задает единственный элемент .

Суть дела изложена в пункте 3). Важно, что определено однозначно, т.е.одному элементу соответствует один элемент . Важно также, что значение определено для каждого из . Знание области определения говорит о том, где «безопасно» применять функцию . В то же время необязательно знать точную область значений ; часто ее трудно описать, а мы хотим пользоваться функцией , не занимаясь подобными проблемами. Поясним слово «правило» в пункте 3). Пока будем считать, что знаем, что такое «правило»: некий способ получить для заданного конкретного . Достаточно, чтобы в принципе можно было вычислить по . Практически такое вычисление может оказаться невыполнимым: либо слишком трудоемким, требующим много времени, либо связанным с решением какой-то очень трудной задачи (все вышесказанное относительно слова «правило» относится и к основным элементарным функциям изучаемым в школе).

Если числовые множества и числовые множества, то называется числовой функцией. Например, , , – числовые функции.