Универсальное уравнение изогнутой оси

Вертикальные перемещения центров тяжестей сечений стержня называется прогибом стержня, а угол между касательной к искривленной оси балки и горизонталью называется углом поворота поперечного сечения (см. рис. 5.9). Функция называется уравнением упругой линией или линией прогибов балки, при этом графически строится изогнутая ось (упругая линия) стержня. Для выбранной системы координат положительным является перемещение, направленное вниз, а угол положителен при повороте против часовой стрелки. В рамках технической теории изгиба считаем, что .

Из геометрии следует, что .

Относительная продольная деформация меняется по высоте сечения по закону: ,тогда .

Если , то радиус кривизны и изогнутая ось направлена выпуклостью вниз, если - выпуклостью вверх.

Точное математическое выражение для кривизны любой плоской кривой в случае малых изгибных деформаций имеет вид .

Сравнивая математическое и физическое выражения для кривизн, получим что .

Произведя двойное дифференцирование полученного выражения с учетом дифференциальных зависимостей между внутренними усилиями при изгибе, получим .

Полагая изгибную жесткость стержня постоянной , выражения для прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил получим интегрированием данного выражения:

,

,

,

.

В данных выражениях константы интегрирования определяют прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начале координат. Они называются начальными параметрами.

В случае действия произвольного количества нагрузок разного типа (рис. 5.10) полученные выражения можно обобщить

,

,

,

Выражение для прогиба называется универсальным уравнением. В данные выражения должны быть включены все нагрузки (внешние и реактивные), действующие на стержень, кроме сосредоточенных нагрузок, действующих на конце стержня, противоположном началу координат. Каждая- нагрузка учитывается в данных выражениях только при превышении осевой координаты указанного значения. В случае если распределенная нагрузка действует только на части длины стержня, то ее необходимо достроить от конца ее действия до конца стержня противоположного началу координат и учесть данное слагаемое в качестве отдельной нагрузки противоположного направления.

Неизвестные начальные параметры определяются из граничных условий, составленных для левого и правого концов стержня. В случае наличия у стержня промежуточных опор для определения действующих на них реактивных усилий составляются дополнительные условия отсутствия прогибов на них, а неизвестная реакция на опоре учитывается в качестве слагаемого соответствующего силе. При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в местах действия соответствующих сосредоточенных усилий происходят скачки. Кроме того, следует проверять выполнение дифференциальных соотношений между внутренними усилиями. Вследствие степенной зависимости от осевой координаты эпюры прогибов и углов поворота являются гладкими функциями, не имеющими скачков и изломов. В точках, где сила равна нулю, момент имеет экстремум, а в точках, где момент равен нулю, кривизна изогнутой оси равна нулю, т.е. имеется точка перегиба.

5.8 Пример раскрытия статической неопределимости балки с помощью уравнения изогнутой оси

Для балки (см.рис.5.11) при .

1) записать уравнение изогнутой оси

2) определить неизвестные начальные параметры из граничных условий

3) получить выражения и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

4) построить изогнутую ось балки

Решение.

Совмещаем начало координат с левым концом балки

1. Уравнение изогнутой оси балки

.

Cоставляем граничные условия

при :

при :

при :

Положив в универсальном уравнении выражения для силы и момента, получим дифференцированием

.

Решая систему уравнений

получим .

Подставив найденные значения начальных параметров в их выражения, определим их значения в характерных точках:

Определяем абсциссу на втором участке балки, где поперечная сила равна нулю , при этом имеет максимум.

По полученным значениям строим эпюры

Косой изгиб

В случае, если плоскость действия нагрузок не совпадает с главной осью сечения изгиб будет косым (рис.5.12а). При этом в поперечных сечениях стержня будут присутствовать два изгибающих момента, т.е. косой изгиб можно представить в виде сочетания двух изгибов в главных плоскостях. У круглого и квадратного сечения все оси, проведенные через центр тяжести, являются главными и поэтому такие балки испытывают только плоский изгиб.

Следовательно, в выражении для нормальных напряжений остаются два слагаемых: . Нейтральная линия при этом проходит через центр тяжести сечения, но не перпендикулярна плоскости действия нагрузок: , где - угол наклона плоскости действия сил к главной оси. Перемещения при косом изгибе находятся в плоскости, составляющей угол с главной осью.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии: .

Условием прочности при косом изгибе является .

Пример. Подобрать поперечное сечение для балки, подвергающейся косому изгибу, при (рис. 5.12б).

Решение:

Наибольшие значения моментов равны .

Рассмотрим несколько видов сечений:

а) прямоугольник с отношением высоты к ширине . Тогда .

Площадь такого сечения равна .

б) круг с отношением внутреннего диаметра к наружному .

Поскольку балки с таким сечением не испытывают косого изгиба то в расчет должен приниматься суммарный момент:

Тогда .

Площадь такого сечения равна .

в) двутавр

Принимаем двутавр №33, у которого .

Тогда .