Линейные дифференциальные уравнения. Передаточные функции

При описании автоматических систем управления широко используют символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение системы, изображенной на рис 2.1:

(2.6)

Введем для операции дифференцирования обозначение , т. е.

, .

Используя его, уравнение (2.6) можно записать в виде

(2.7)

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор (операцию дифференцирования) можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а, выражение — как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо писать . Учитывая это замечание, перепишем (2.7), вынеся и за скобки:

(2.8)

Введем обозначения , , . C помощью этих обозначений уравнение (2.8) можно записать в более компактной форме

. (2.9)

В уравнении (2.9) (дифференциальный оператор при выходной величине) называют собственным оператором, а и (дифференциальные операторы при входных величинах) - операторами воздействия.

Передаточные функции. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме. Звено, описываемое уравнением (2.6) или, что тоже самое, уравнениями (2.7)— (2.9), можно характеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией по входной величине , т.е.

(2.10)

Используя передаточные функции, уравнение (2.6) записывают и передаточной функцией по входной величине , т. е.

. (2.11)

в виде

(2.12)

Уравнения (2.8), (2.9) и (2.12) называют уравнениями в символической или операторной форме записи.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточные функции в форме изображений Лапласа и операторной форме с точностью до обозначений совпадают. Передаточную функцию в форме, изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку . В общем случае это следует из того. что дифференцированию оригинала —символическому умножению оригинала на — при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем).

Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений. Обычно линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не выше второго порядка записывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие выходную величину и ее производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены — в правой; коэффициент при выходной величине делают равным единице. Если в правой части содержатся производные, то члены, содержащие какую-либо одну входную величину и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной величине выносят за скобки. Уравнение (2.6) в стандартной форме принимает вид

(2.16)

где , , , , .

В уравнении (2.16) постоянные и имеют размерность времени и их называют постоянными времени, а коэффициенты и — передаточными коэффициентами. Если исходное уравнение (2.6) не содержит , то в стандартной форме коэффициент при производной должен быть равен единице: обе части уравнения делят на коэффициент . В символической форме уравнение (2.16) принимает вид

.