Теорема Кронекера – Капелли

Теорема. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу ее расширенной матрицы

.

Пример 1. С помощью критерия Кронекера – Капелли определить, будут ли совместны следующие системы:

а) ;

б) .

Решение. а) Вычисляем ранг матриц . Для этого путем элементарных алгебраических преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду :

.

1. Умножаем элементы 1-ой строки на «-3» и складываем с элементами 2-ой строки, затем умножаем элементы 1-ой строки на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки.

2. Умножаем элементы 2-ой строки на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки.

Число строк в полученной матрице равно 3, следовательно, согласно определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы 1) имеем:

.

Аналогичным образом, получим

.

Т.к. , то в силу критерия Кронекера – Капелли, система решений не имеет (несовместна).

б) Составляем расширенную матрицу:

1. Меняем местами 1-ую и 2-ую строки.

2. Умножаем элементы 1-ой строки последовательно на «-2»; на «-1»; на «-5» и на «-3» и складываем соответственно с элементами 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой строк.

3. Умножаем элементы 2-ой строки последовательно на «-2»; «-3» и «-1» и складываем соответственно с элементами 3-ей, 4-ой и 5-ой строк.

4. Вычеркивая нулевые строки, получаем ступенчатую матрицу.

Число строк в полученной ступенчатой матрице равно 2 :

; ; ,

следовательно, система совместна.

Замечание. Для сокращения записи мы приводим к ступенчатому виду одновременно матрицы .

Однородные системы линейных уравнений.

Определение 1. Система уравнений вида:

(I)

называется однородной.

Очевидно, что система (I) всегда имеет решение :

(нулевое решение). Таким образом, однородная система всегда совместна.

Теорема. Если в системе (I) , то система (I) имеет единственное (следовательно, нулевое) решение, если определитель системы

,

и – бесчисленное множество решений (в том числе ненулевых), если

.

Замечание. Если в системе (I) (число уравнений меньше числа неизвестных), то система имеет бесчисленное множество решений.

Примеры.

Решить системы уравнений:

а) ;

б) .

Решение.

а) .

Мы сложили соответствующие элементы 2-ой и 3-ей строк. Система имеет единственное (нулевое) решение :

б) Решаем систему методом Гаусса (см. § 5).

.

Таким образом,

.

Система имеет бесчисленное множество решений. Давая различные значения, мы будем получать соответствующие решения заданной системы.

Например,

, тогда , получаем решение ;

, тогда , получаем решение .

При подстановке в уравнения системы этих чисел, убеждаемся, что каждый раз мы получаем решение.

СЕМИНАР 1

Задание 1.

Даны определители:

, .

Вычислить:

а) определитель по правилу треугольников;

б) определитель разложением по элементам 2-го столбца;

в) определитель 4-го порядка .

Решение:

а)

 

б)

 

в) Для вычисления определителя 4-го порядка выберем строку (столбец), где больше нулей и, пользуясь свойством определителя (см. главу I §4 свойство 8), получим в этом столбце все нули, кроме, быть может, одного элемента. В нашем случае – это 3-ий столбец. Мысленно умножим элементы 1-ой строки на «-4» и сложим с элементами 2-ой строки, а затем умножим элементы 1-ой строки на «-2» и сложим с элементами 4-ой строки.

Мы разложили определитель 4-го порядка по элементам 3-его столбца (см. главу I §4 свойство 9). В этом разложении 3 последних слагаемых, очевидно, равны нулю. Таким образом, вычисление определителя 4-го порядка сводится к вычислению определителя 3-го порядка. Умножим элементы 1-ого столбца этого определителя на «-1» и сложим с элементами 2-ого столбца :

 

.

 

Замечание 1. Следует обратить внимание на то, что та строка (столбец), которую мы умножаем, в определителе не изменяется. Меняется лишь та строка (столбец), к которой мы прибавляем результат умножения.

Например, в нашем определителе 3-го порядка 1-ый столбец, который мы умножаем на «-1», вошел в новый определитель без изменения, поменялся лишь 2-ой столбец.

Задание 2.

Даны матрицы:

, , .

Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение.

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

Найдем определитель матрицы A:

следовательно, обратная матрица существует.

Определим алгебраические дополнения :

; ; ;

; ; ;

; ; .

Найдем (обратную матрицу к матрице А):

.

Проверка:

Задание 3.

Дана система линейных уравнений:

Решить эту систему:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

Решение.

а) Найдем определитель системы :

В этом определителе заменим 1- ый столбец столбцом свободных членов, получим определитель :

.

Вычислим определитель, который получается из определителя системы заменой 2-ого столбца столбцом свободных членов:

.

Аналогичным образом, заменяя в определителе системы 3-ий столбец столбцом свободных членов, получим :

.

Найдем значения x, y и z по формулам Крамера:

;

;

.

Ответ: , , .

б) Рассмотрим матрицы:

- матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных;

- матрица свободных членов;

- матрица неизвестных.

Тогда, в матричной форме система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

.

Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:

.

Для матрицы в задании №2 ( пункт д) нами была найдена обратная матрица:

.

Найдем матрицу :

.

Ответ: , , .

в) Выпишем расширенную матрицу системы :

 

.

1. Проверяем: .

2. Мысленно умножим элементы 1-ой строку на «-1» и сложим с элементами 3-ей строки, получим:

.

3. Проверяем: .

4. Мысленно умножим 2-ую строку на «1» и сложим с 3-ей строкой:

,

получаем матрицу ступенчатого вида (см. определение 2 §7 главы I).

5. Составляем систему уравнений, соответствующую матрице :

.

Подставляем в предпоследнее уравнение системы :

,

отсюда

.

Из первого уравнения находим

.

 

Ответ: .

Задание 4.

Пользуясь критерием Кронекера – Капелли, исследовать систему линейных уравнений на совместность, и в случае совместности найти ее решение методом Гаусса

.

При переходе от 1-ой матрице ко 2-ой мы поменяли местами 1-ую и 2-ую строки для простоты вычислений, затем мысленно умножили элементы1-ой строки на «-2»; «-1» и «-5» и результат прибавили соответственно к элементам 2-ой, 3-ей, 4-ой строк, получили 3-ю матрицу. Затем перешли к 4-ой матрице: 1-ую и 2-ую строки оставили без изменения; умножив элементы 2-ой строки на «-2», затем на «-3», прибавили результаты умножения соответственно к элементам 3-ей и 4-ой строк. Затем убрали нулевые строки и перешли к матрице ступенчатого вида. Мы одновременно приводим к ступенчатому виду основную и расширенную матрицы и .

По определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы I)

.

В силу критерия Кронекера – Капелли система уравнений совместна. Переходим от последней матрицы к системе уравнений:

.

Из последнего уравнения выражаем :

.

И, подставляя это равенство в первое уравнение системы, получаем:

,

отсюда имеем:

.

Таким образом, полученная система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения независимым переменным и , мы каждый раз будем получать частные решения системы.