Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число

Пусть A, B, C – матрицы размерности .

1. Коммутативность суммы матриц

.

2. Ассоциативность суммы

.

3. Дистрибутивность

,

,

- числа.

4. Ассоциативность произведения

,

- числа.

5. , где - нулевая матрица.

6. , где - нулевая матрица.

Определение 3. Произведением матрицы (размерности ) на матрицу (размерности ) называется матрица , элементы которой вычисляются по формулам:

, (2)

Пример 3.

.

Замечание 1. Из определения 3 следует, что умножить матрицу на матрицу можно лишь в том случае, когда число столбцов в матрице равно числу строк в матрице .

Замечание 2. Пусть - квадратная матрица n-ого порядка, а - единичная матрица также n-ого порядка, тогда

. (3)

В самом деле, по определению умножения матриц, имеем

.

Аналогичным образом получаем, что .

Свойства умножения матриц.

1. Ассоциативность

, где , , - матрицы размерности соответственно: , , .

 

2. Дистрибутивность

,

где и - матрицы размерности , - матрица размерности .

3. ,

где - число, и - матрицы размерности соответственно и .

Замечание 3. Произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е. , если в частности , то матрицы и называются перестановочными.

Обратная матрица.

Определение 1. Квадратная матрица называется невырожденной, если и вырожденной, если .

Пусть задана квадратная матрица:

.

Определение 2. Матрица называется обратной к матрице , если выполняется равенство , где - единичная матрица. Матрица, обратная к матрице , обозначается символом :

.

Справедлива следующая теорема .

Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Пусть задана матрица

и , тогда матрицу можно получить следующим образом:

1) вычисляем определитель матрицы ;

2) находим матрицу

(заменим в матрице каждый элемент соответствующим ему алгебраическим дополнением );

3) транспонируем матрицу , полученная матрица называется союзной и обозначается символом :

;

4) находим матрицу

.

Поясним сказанное на примере:

.

1) ;

2) вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы и находим матрицы и

 

, , ,

 

, , ,

 

, , ,

 

, ;

4) ;

5) проверяем:

.

Легко убедиться, что

.

Ранг матрицы.

Определение 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия:

1) вычеркивание нулевых строк (столбцов);

2) перестановка двух строк (столбцов);

3) прибавление к одной из строк (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число .

Определение 2. Матрица называется ступенчатой, если ее диагональные элементы , а все элементы, лежащие ниже диагональных, равны нулю ( , если ).

Например, матрица

- ступенчатая.

Теорема 1. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Теорема 2. При любом способе приведения матрицы с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду количество строк в полученной ступенчатой матрице будет одним и тем же.

Определение 3. Рангом матрицы называется число строк в ступенчатой матрице, которая получается из матрицы элементарными преобразованиями. Ранг матрицы обозначается символами:

Для вычисления ранга матрицы можно применить следующий алгоритм.

1. Вычеркиваем в матрице все нулевые строки, если они есть.

2. Т.к. теперь нулевых строк нет, то в 1-ой строке полученной матрицы найдется хотя бы один отличный от нуля элемент. Переставим столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте стоял элемент, отличный от нуля .

3. Первую строку, умноженную последовательно на ; ; ; , прибавим соответственно ко 2-ой, 3-ей, … , m-ой строке. Получим матрицу :

.

Вычеркнем в матрице нулевые строки, если они есть. Можно считать, что во 2-ой строке есть хотя бы один элемент, отличный от нуля. Переставим столбцы так, чтобы .

4.Умножим 2-ую строку последовательно на ; ; ; и прибавим соответственно к каждой из последующих строк. В результате получим матрицу

.

Вообще говоря, , т.к. при переходе от одной матрице к другой некоторые строки (нулевые) могли быть вычеркнуты.

Повторяя описанные рассуждения через конечное число шагов, мы получим матрицу ступенчатого вида, число строк в которой и будет рангом матрицы . Поясним сказанное на примере.

Вычислим ранг матрицы:

.

Умножим первую строку на «-2» и сложим ее со 2-ой, затем умножим 1-ую строку на «-1» и сложим ее с 3-ей; наконец, первую строку, умноженную на «-5», сложим с 4-ой. Приходим к матрице:

.

В матрице вторую строку, умноженную последовательно на «-2» и «-3», складываем соответственно с 3-ей и 4-ой строками, получаем:

.

Вычеркиваем в матрице третью и четвертую нулевые строки, получим

,

число строк в ступенчатой матрице равно 2. Следовательно,

Теорема 3. Ранг матрицы не меняется при транспонировании.

Рекомендуем читателю транспонировать матрицу в рассмотренном примере и убедиться, что