Теория метода исследования

Прежде чем перейти к описанию конкретных методов измерения времени жизни, приведем некоторые соображения, служащие основой такого рода измерений. Пусть имеется полупроводник в виде бруска, длина которого велика по сравнению с поперечными размерами («нитевидидный» образец, внутри которого возникает дополнительных носителей в одном кубическом сантиметре в одну секунду) например, вследствие освещения области 1, Рис.2.

Рис. 2. Одномерная модель нитевидного образца: 1 - освещенная область

Рассмотрим слой полупроводника, ограниченный плоскостями и . Через сечение в рассматриваемый слой через в 1 секунду входит вследствие диффузии число носителей: (D-коэффициент диффузии), а за это же время выходит через сечение :

.

Следовательно, увеличение числа носителей слоя вследствие диффузии примет следующий вид:

.

Если в полупроводнике имеется электрическое поле , то носители участвуют еще в переносном «дрейфовом» движении. Число носителей, входящих вследствие дрейфа через сечение через в секунду равно:

,

где - подвижность, а число носителей, выходящих через , выражается формулой

.

Увеличение числа носителей в слое за одну секунду равно:

.

В стационарном состоянии полное число носителей, вошедших в слой, должно равняться числу носителей, исчезающих вследствие рекомбинации (также за одну 1 с.), (см. формулу (1))

.

Поэтому уравнение баланса дополнительных носителей одного знака (например, электронов в дырочном материале) будет иметь вид:

или

. (3)

Заметим, что уравнение (3) справедливо только для малых значений концентрации неосновных носителей (по сравнению с концентрацией основных носителей).

Действительно, для стационарного случая необходимым является выполнение уравнения непрерывности

,

где плотность тока составляется из потока дырок и электронов. Следовательно, в общем случае нужно было бы решать уравнение баланса носителей обоих знаков. Однако можно приближенно считать, что уравнение непрерывности соблюдается и в нашем случае.

Используем соотношение Эйнштейна

, (4)

где - заряд электрона, - постоянная Больцмана и введем обозначения:

, (5)

. (6)

Тогда уравнение (3) принимает следующий вид:

. (7)

общее решение этого уравнения имеет вид:

, (8)

где и удовлетворяют характеристическому уравнению

.

Откуда

.

Так как физический смысл имеет только затухающие решения, то , ибо , и мы имеем:

,

где

. (9)

Так как при , то окончательно

. (10)

Следовательно, концентрация неравновесных носителей заряда убывает по показательному закону с увеличением расстояния. Величина ‚ определяемая формулой (9), есть длина запаздывания носителей, т.е. расстояние, на котором их концентрация уменьшается в e=2.718… раз.

Исследуем решение для двух предельных случаев.

1. .

В этом случае и решение (10) принимает вид:

. (11)

Здесь есть «диффузионная» длина носителей заряда, т.е. такое расстояние, на котором концентрация носителей, распространяющихся только вследствие диффузии (в отсутствие поля), уменьшается в е раз в результате рекомбинации.

2. . Тогда имеем:

Подставляя это выражение в (9), имеем

. (12)

Подставляя это выражение в формулу (10) и учитывая ещё, что , где - время движения носителей, находим , т.е. опять формулу (2).

Полученные результаты лежат в основе экспериментального определения времени жизни . Видно, что для этого можно либо исследовать уменьшение концентрации неравновесных носителей с течением времени и найти по формуле (2), либо исследовать зависимость от расстояния вдоль образца. В последнем случае мы определяем диффузионную длину по значению которой, зная коэффициент диффузии D, можно найти по формуле (5).

Величину D можно определить из данных о подвижности, пользуясь соотношением Эйнштейна (4).