Дифференциал функции и его геометрический смысл

Дифференциалом функции в называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

Покажем, что и эквивалентные бесконечно малые при

Геометрический смысл дифференциала:

Проведем к графику функции в точку касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки На рисунке Из прямоугольного треугольника имеем: Но, согласно геометрическому смыслу производной, Поэтому Это означает, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получает приращение

Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеемdf (x0) = f'(x0)dx. (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Непрерывность дифференцируемой функции

Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х0, то говорят, что при данном значении аргумента х = х0 функция дифференцируема.

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.

Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Пусть в точке х = х0 существует производная

Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то из определения производной следует соотношение

где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x0)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х0. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.

Теорема Ролля

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения .

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции (ри Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

Теорема Лагранжа

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и ,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

Теорема Коши

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть .

50ВОПРОСФормула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора.

Теорема:

· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , · Пусть · Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

[править]Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Разложение основных элементарных функций

- Положив x₀=0 и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций:

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• 

51 ВОПРОСЭкстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума.

в точке x₀ функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f (x) ≤ f (x₀) (минимум) илиf (x) ≥ f (x₀) (максимум).

Теорема Ферма. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума, то

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x³ не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками