Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов

Бесконечно большая функция (б.б.ф)

Функция y = f (x) называется бесконечно большой при х→ х₀, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х- х₀| < δ, выполняется неравенство |f(х)| > М. Записывают = ∞ или f (x) → ∞ при х → х₀.

Если f(х) стремится к бесконечности при х → х₀ и принимает лишь положительные значения, то пишут = + ∞; если лишь отрицательные значения, то = - ∞.

Бесконечно малая функция (б.м.ф.)

Функция у = f(x) называется бесконечно малой при х→ х₀, если . По определению предела функции равенство означает: для любого числа ɛ > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х – х₀| < δ, выполняется неравенство |f (x)| < ɛ.

Аналогично определяется б.м.ф. при х→ х₀ + 0, х→ х₀ – 0, х→ + ∞, х→ - ∞: во всех этих случаях f (x) →0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т.д.

Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф.сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α = α(х) и β = β(х) есть б.м.ф. при х → х₀, т.е. = 0 и = 0.

1.если = А ≠ 0 (А ? R), то α и β называются бесконечно малыми одного порядка.

2.если = 0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β.

3если = ∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β.

4.если не существует, то α и β называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что такое же правило сравнения б.м.ф.при х → ± ∞, х → х₀ ± 0.

Эквивалентные функции

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так назывемые эквивалентные бесконечно малые.

Если = 1, то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при х → х₀); это обозначается так: α ~ β.

Применение эквивалентных функций для вычисления пределов

Для раскрытия неопределенностей вида часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sin x ~ х при х → 0, tg х ~ х при х → 0.

важнейшие эквивалентности, которые используют для вычисления пределов:

1) sin х ~ х при х → 0;

2) tg х ~ х (х → 0);

3) arcsin х ~ х (х → 0);

4) arctg х ~ х (х → 0);

5) 1 – cos х ~ (х → 0);

6) - 1 ~ х (х → 0);

7) - 1 ~ х * ln а (х → 0);

8) ln (1+х) ~ х (х → 0);

9) ~ х * (х → 0);

10) (1 + х)^k – 1 ~ k * х, k > 0 (х → 0);

в частности, - 1 ~ .

40ВОПРОС Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке.

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точкех₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).