Формулы прямоугольников

Подинтегральная функция на элементарных отрезках заменяется константой, равной значению функции в одной из точек отрезка. Ее график – горизонтальная прямая. Тогда квадратурная формула примет вид:

, где

В зависимости от места расположения точек на отрезках получаются различные формулы:

- формула левых прямоугольников,

- формула правых прямоугольников,

- формула средних прямоугольников.

Погрешность численного интегрирования по формуле левых и правых прямоугольников убывает пропорционально h (порядок точности методов k=1), для средних прямоугольников пропорционально (порядок точности метода k=2).

Погрешность e для формулы средних прямоугольников можно оценить из соотношения , где .

Шаг для заданной точности вычисляется по формуле:

.

 

Лабораторная работа №11

а) Вычислить определенный интеграл с помощью метода правых и левых прямоугольников при n=10 . Оценить точность методом сравнения.

b) Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников, с точностью 10^-6. При оценке точности использовать правило Рунге.

1.а) b)

2.а) b)

3.а) b)

4.а) b)

5.а) b)

6.а) b)

7.а) b)

8.а) b)

9.а) b)

10.а) b)

11.а) b)

12.а) b)

13.а) b)

14.а) b)

15.а) b)

16.а) b)

17.а) b)

18.а) b)

19.а) b)

20.а) b)

21.а) b)

22.а) b)

23.а) b)

24.а) b)

25.а) b)

26.а) b)

27.а) b)

28.а) b)

29.а) b)

30.а) b)

 

Формулы трапеций и Симпсона

Квадратурная формула трапеций получается при замене функции на каждом отрезке разбиения линейной зависимостью. Формула трапеций имеет в вид:

.

Здесь .

Если на каждой паре соседних отрезков подинтегральную функцию интерполировать по трем точкам квадратичной параболой, то получается формула четвертого порядка точности, которая называется формулой Симпсона:

.

Формула трапеций имеет второй порядок, а формула Симпсона имеет четвертый порядок точности по h. Погрешности e можно оценить из соотношений:

, где - для формулы трапеций,

 

, где - для формулы Симпсона.

 

Ниже приведены примеры вычисления интеграла в системе MathCAD

стандартным способом	.
При заданных	, , , , ,
методом трапеций:	,
методом Симпсона:	.

Оценка точности, например, для метода трапеций также может быть произведена с помощью MathCAD.

Лабораторная работа №12

а) Вычислить определенный интеграл методом трапеций с точностью 10^-6. Шаг для вычислений оценить заранее.

b) Вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона итерационным способом с точностью 10^-6. При оценке точности использовать правило Рунге.

 

1.а) b)

2.а) b)

3.а) b)

4.а) b)

5.а) b)

6.а) b)

7.а) b)

8.а) b)

9.а) b)

10.а) b)

11.а) b)

12.а) b)

13.а) b)

14.а) b)

15.а) b)

16.а) b)

17.а) b)

18.а) b)

19.а) b)

20.а) b)

21.а) b)

22.а) b)

23.а) b)

24.а) b)

25.а) b)

26.а) b)

27.а) b)

28.а) b)

29.а) b)

30. а) b)