Решение систем линейных уравнений (СЛУ)

Систему линейных уравнений

удобно представлять в матричной форме , где

- матрица системы, - вектор столбец свободных членов.

Система имеет единственное решение, если ее определитель . Для решения системы используют прямые методы (формулы Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы) и итерационные (метод простых итераций, Зейделя и др.).

Иногда при расчетах удобней использовать расширенную матрицу:

.

Решение систем линейных уравнений с использованием стандартных функций пакета MathCAD и Excel.В пакете MathCAD имеется множество возможностей для решения СЛУ.

Для решения системы в развернутом виде используется вычислительный блок given/find . Перед блоком задается начальное приближение. Знак «=» для системы уравнений ставится с помощью панели «boolean».

Решение системы в компактном виде осуществляется с использованием матрицы системы и вектора столбца свободных членов, а также с помощью функции lsolve.

Также можно воспользоваться методом обратной матрицы после ввода этой строки остается только вывести значения X.

При решении СЛУ с помощью стандартных функций Excel требуется умение работы с массивами. Для решения, например, с помощью обратной матрицы используются функции МОБР и МУМНОЖ.

Сначала необходимо ввести в ячейки значения матрицы системы и вектора столбца свободных членов.

Для использования функции обращения матрицы МОБР нужно ввести в свободную ячейку формулу: «=МОБР(A1:C3)» или воспользоваться мастером функций, в котором отметить диапазон ячеек.

После ввода в ячейке отразится первый элемент обратной матрицы. Для того, чтобы получить все

элементы, необходимо выделить соответствующе количество ячеек так, чтобы в левом верхнем углу находился полученный элемент. После этого нажимается клавиша «F2», а затем сочетание клавиш «crtl», «shift», «enter». В выделенных ячейках появится результат.

Следующим шагом нужно перемножить обратную матрицу с вектором-столбцом свободных членов. При умножении в свободную ячейку вводится функция умножения с необходимыми диапазонами перемножаемых массивов «=МУМНОЖ(A6:C8;E1:E3)». После того как в ячейке появится первый элемент, необходимо выделить ячейки для результата (три столбиком, включая первый злемент), затем нажать «F2» и «crtl», «shift», «enter».

Метод Гаусса

Суть метода заключается в том, что сначала путем тождественных преобразований систему приводят к треугольному виду (прямой ход), а затем последовательно находят корни системы (обратный ход).

Если из второй строки уравнения вычесть первую, умноженную на коэффициент , а из третьей строки вычесть тоже первую, умноженную на коэффициент , и так продолжая до n-й строки, то в матрице преобразованной системы уравнений первый столбец, кроме элемента , станет нулевым. Элемент при данном преобразовании называется ведущим. Затем аналогичным способом, вычитая из нижних строк вторую, умноженную на соответствующие коэффициенты, зануляют второй столбец, кроме элементов и (верхний индекс обозначает количество преобразований), при этом преобразовании ведущим становится элемент . Процесс продолжают, пока матрица А не примет треугольный вид:

,	где , , , .

 

Свободные члены при этих преобразованиях так же изменятся .

Из последней строки полученной матрицы находится .

При выполнении описанных вычислений необходимо следить за тем, чтобы очередной ведущий элемент не был бы равен нулю. Если такое происходит, то следует производить перестановку строк.

Так как в дальнейшем производится работа только с преобразованной матрицей, то верхние индексы можно опустить. Тогда из предпоследней строки .

Полностью обратный ход можно записать:

, .

Рассмотренные преобразования не меняют определителя матрицы коэффициентов. Определитель же треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Таким образом, с помощью метода Гаусса, можно найти определитель матрицы системы уравнений, вычислив произведение ведущих элементов.

Ниже приведен пример решения системы уравнений с помощью метода Гаусса.

	«x1»	«x2»	«x3»	«x4»	св. члены
	0,6	0,5	-0,1	0,8
	0,2	-0,1	0,2	-0,8	0,4
	-0,3	-0,8	0,7	0,9	-0,8
	-0,4	0,5	-0,5	-0,7	1,6
	0,6	0,5	-0,1	0,8
		-0,26667	0,233333	-1,06667	-0,26667
		-0,55	0,65	1,3	0,2
		0,833333	-0,56667	-0,16667	2,933333
	0,6	0,5	-0,1	0,8
		-0,26667	0,233333	-1,06667	-0,26667
			0,16875	3,5	0,75
			0,1625	-3,5	2,1
	0,6	0,5	-0,1	0,8
		-0,26667	0,233333	-1,06667	-0,26667
			0,16875	3,5	0,75
				-6,87037	1,377778
	x1=	x2=	x3=	x4=
	-2,7407	9,330458	8,603774	-0,20054

 

Произведение ведущих членов равно 0,1855 , что является значением определителя.