Условные обозначения и основные

Математические зависимости

 

Основное напряжение — нормальное в сечении бруса σ

 

, (1)

 

гдеFилиА— площадь сечения; N– нормальная сила; -допустимое напряжение

 

,

 

где п– коэффициент запаса прочности.

Расчетное напряжение:

 

.

 

При растяжении длина бруса меняется на:

 

,

При сжатии:

, ,

 

где - абсолютно продольная деформация; - абсолютно поперечная деформация; l- длина стержня(бруса)

.

Коэффициент поперечной деформации (Пуассона)

 

.

 

- относительная продольная деформация.

- относительная поперечная деформация.

Закон Гука

,

или

.

Из последнего

.

 

 

E — модуль упругости первого рода;

 

II. Последовательность построения эпюр

И выполнение расчетов

 

1. Записать условие задачи и нарисовать расчетную схему бруса. Под схемой оставить свободное место (10-15 см) для изображения метода сечений и построения эпюр.

2. Выбрать систему координат.

3. Изобразить внешние силы и реакции связей.

4. Определить границы участков бруса и провести вертикальные линии по границам участков.

5. Провести сечение I -I, нарисовать оставленную часть. Нанести на нее все внешние и внутренние силы (продольную силу )

6. Составить уравнение равновесия всех внешних и внутренних сил, действующих на оставленную часть. Определить продольную силу , действующую в сечениях первого участка.

 

.

 

7. Провести сечение II - II, нарисовать оставленную часть, нанести на нее все внешние и внутренние силы (продольную силу , действующую в сечениях второго участка стержня).

8. Составить уравнение равновесия всех внешних и внутренних сил, действующих на оставленную часть, определить продольную силу . Аналогично определить силу и т. д.

 

.

 

9. Построить эпюру продольной силы:

а) провести ось эпюры;

б) отложить ординаты значений , , в выбранном масштабе;

в) соединить ординаты утолщенной линией, параллельной оси эпюры;

г) штриховать эпюру вертикальными линиями, изобразить знак деформации растяжения , сжатия

10. Определить нормальные напряжения на участках I, II, III, σ^I, σ^II, σ^III.

 

.

 

11. Построить эпюры напряжений.

12.Построить эпюру перемещений поперечных сечений бруса:

а) определить перемещение сечения Δl₁,…,Δl_n

.

 

б) определить абсолютное перемещение сечения

 

;

 

в) построить эпюру перемещений поперечных сечений бруса.

13. Проверить прочность бруса:

а) определить опасное сечение;

б) написать условие прочности при проверочном расчете, сделать вывод о прочности бруса:

.

 

14. Определить требуемую площадь сечения бруса при проектном расчете. Сделать выводы по результатам расчетов.

 

.

 

Условимся:продольную силу N считать положительной, если она вызывает растяжение, т. е. направлена от сечения, и от­рицательной, если она вызывает сжатие, т. е. направлена к сечению.

При построении эпюры продольных сил положитель­ные значения Nбудем откладывать вверх от горизон­тальной базисной линии или вправо от вертикальной базисной линии; отрицательные значения N соответствен­но будем откладывать в противоположном направлении, т. е. либо вниз, либо влево.

Задача 1.Для бруса, изображенного на рис. 1, а, построить эпюры внутренних сил, напряжений и перемещений по длине бруса.

 

Рис. 1

 

Решение.

1. Выбираем начало отсчета в неподвижном сечении (точка О); положи­тельное направление оси z направим по оси бруса, т.е. вниз.

2. Определим реакцию, составив одно уравнение равновесия:

 

.

 

3. Построим эпюру внутренних сил N. Для этого на расстоянии z₁ рассечем брус и рассмотрим равновесие нижней части (рис. 1, б):

 

,

 

что справедливо для . В этих пределах в брусе возни­кает растяжение, так как N₁направлена от сечения.

Теперь выберем второй участок бруса и рассмотрим равновесие верхней части (рис. 1, в):

 

.

 

Поскольку N₂ направлена к сечению, то брус под дейст­вием сил N₀ и N₂ сжимается.

После того как определили все внутренние нормальные силы, переходим к построению эпюры нормальных сил (рис. 1, г). Вправо будем отклады­вать положительные значения, а влево - отрицательные значения нормаль­ных сил.

Анализируя построенную эпюру N, заметим, что внутренние силы не за­висят от размеров поперечного сечения, а зависят только от приложенных внешних сил. Поэтому длину бруса разбивают на такое число участков, сколько сил на его длине приложено. В данном случае было два участка.

При проверке правильности построения эпюры N следует обратить внимание на то, что на эпюре внутренних сил в тех сечениях, где были приложены внешние силы, должны быть скачки, равные приложенной внешней силе.

4.Построим эпюру напряжений σ. Брус следует разбить на участки. По­скольку σ = N/S, то участков на эпюре будет столько, сколько раз меняется
поперечное сечение; при этом следует обращать внимание, чтобы при посто­янной площади поперечного сечения нормальная сила на эпюре N остава­лась неизменной. С учетом этого на эпюре σ будут три различных значения
σ (рис. 1, д):

 

.

 

5.Строим эпюру перемещений U. Начинать следует от неподвижного се­чения, т.е. от сечения О. Выразим перемещение сечения, находящегося от
неподвижного на расстоянии z₂:

 

.

 

Если , то дляz₂ =l перемещение

 

Для

,

или

;

приz = 2l

.

Для

;

приz₁=3l

.

Откладываем вычисленные перемещения на эпюреU(рис. 1, е).

Определить диаметры поперечных сечений бруса (материал - незакален­ная сталь 30), нагруженного по схеме, приведенной на рис. 1, а. Сила F=1000Н.

Сначала необходимо построить эпюрыN иσ. Определяем коэффициент запаса. Поскольку материал пластичный,принимаем коэффициент запаса n_T = 1,5.

Вычисляем допускаемое напряжение. Из табл. 2.1 для стали 30 выписы­ваем σ_тр = σ_mc = 330 Н/мм². После этого можно определить допускаемое напряжение при растяжении и сжатии:

 

Н/мм².

 

Проанализировав эпюру напряжений (рис. 1, д), установили, что
на двух участках возникает одинаковое напряжение σ_наи6 = F/S. Поскольку
данный материал работает одинаково на растяжение и сжатие, то можно для
любого из этих двух участков записать условие σ_наи6≤[σ]:

 

.

 

Определяем диаметры круглого бруса из полученного уравнения: S = 4,55 мм². Зная, что S = πr², определяем r₁ = 1,2 мм; d₁ = 2,4 мм. На участке, где площадьS₂ = 2S, диаметр d₂ будет равен 3,35 мм.

 

Задача 2. Построить эпюру продольных сил для стержня, нагру­женного продольными силами (рис. 2.1, а).

Решение. Стержень имеет два участка: I и II. Выберем начало координат в левом крайнем сечении.

 

 

Рис. 2.1. Определение продольных сил на участках Iи II

 

Найдем закономерности изменения продольной силы на каждом участке. Для этого используем метод сечений — в произвольных местах на участках I и II проведем сечения 1—1 и 2—2 и каждый раз будем отбрасывать правую часть стержня, содержащую закрепление, для того чтобы предварительно не определять опорную реакцию. Оставшиеся левые части уравновесим положительными (растягивающими) продоль­ными силами N₁ и N₂ (рис. 2.1, б, а).

Заметим, что во избежание ошибки следует неизвестное внутреннее усилие принимать всегда положительным, так как знак усилия, получа­емый из решения, позволит установить:

правилен ли был выбор направления силы N;

какой вид деформации при этом возникает — растяжение или сжа­тие.

Для оставшихся (левых) частей запишем уравнения равновесия:

 

Рис. 2.2. По­строение эпюры продольных сил

 

I. :

II. :

.

 

Из полученного решения видно, что в пределах каждого участкапродольная сила остается постоянной, т. е. не зависит от продольной координаты z, и на участке II вместо предполагаемой растягивающей силы продольная сила будет сжимающей (рис. 2.1, в она показана пунктиром).

По полученным выражениям для N₁ и N₂ построим эпюру продоль­ных сил, изображенную на рис. 2.2.

Задача 3. Построить эпюру (рис. 3).

 

Рис. 3

справа

.

Задача 4.Построить эпюру (рис. 4).

Рис. 4

 

Задача 5.Построить эпюру (рис. 5).

 

Рис. 5

 

.

Здесь

«Идем» справа:

«Идем» слева:

 

Задача 6.Для стального бруса (рис. 6) постройте эпюру продольных сил, эпюру напряжений, проверьте прочность, если: =50 кН, =10 см², = 160 МПа.

Решение. По эпюре напряжений выбираем максимальное на­пряжение и записываем условие прочности:

 

;

;

 

Рис. 6

 

Условие прочности выполняется; прочность бруса обеспечена.

 

Задача 7. Построим эпюру N для стержня, изображенного на рис. 7, а.Установим с помощью метода сечений законы изменения N в пределах каждого из двух характерных участков стержня. Для этого проведем сечения в пределах этих участков, отбросим мысленно одну из частей стержня и заменим ее влияние про­дольной силой N. Составим уравнение равновесия ΣХ= 0 остав­шейся части.

Участок х≥1,2м кH.

 

Истинное направление N показано пунктиром (рис. 7, б). В пределах рассматриваемого участка продольная сила является сжимающей и имеет постоянное значение.

Участок 0≤х≤<1,2 м

.

 

Рис. 7

 

Определим величину N в начале и в конце участка (рис. 7, в):

 

х = 0, N=-18 кН (сжатие);

х=1,2м, N = 6 кН (растяжение).

 

В пределах данного участка продольная сила изменяется по линейному закону. Опорная реакция в месте закрепления стерж­ня равна значению N в этом сечении: R= 18 кН.

Отложив в соответствующем масштабе ординаты Nна пря­мой, параллельной оси стержня, построим эпюру N (рис. 7, г). Отметим ее особенность — в сечении, где приложена сосредото­ченная сила P₁ = 18 кН, на эпюре N имеется разрыв (скачок), равный по величине этой силе.

 

Механикой в широком смысле этого слова называется наука, посвящённая решению любых задач, связанных с изучением движения или равновесия тех или иных материальных тел и происходящих при этом взаимодействий между телами.

Теоретическая механика представляет собою часть механики, в которой изучаются общие законы движения и взаимодействия материаль­ных тел, то есть те законы, которые справедливы и для движения Земли вокруг Солнца, и для полёта ракеты или артиллерийского снаряда и т. п.

Другую часть механики составляют различные общие и специальные технические дисциплины, посвящённые проектированию и расчёту всевозможных конкретных сооружений, двигателей, механизмов и машин или их частей (деталей)».

ДЕТАЛИ МАШИН– научная дисциплина, занимающаяся изучением, проектированием и расчетом деталей машин и узлов общего назначения. Механизмы и машины состоят из деталей. Встречающиеся почти во всех машинах болты, валы, зубчатые колеса, подшипники, муфты называют узлами и деталями общего назначения.

 

МЕХАНИЗМ – система подвижно соединенных деталей, предна­значенная для преобразования движения одного или нескольких тел в це­лесообразные движения других тел (например, кривошипно-ползунный механизм, механические передачи и т. п.).

 

МАШИНА – (греч. "махина" – огромная, грозная) система деталей, совершающая механическое движение для преобразования энергии, материалов или информации с целью облегчения труда. Машина характерна наличием источника энергии и требует присутствия оператора для своего управления.

 

ДЕТАЛЬ – (франц. detail – кусочек) – изделие, изготовленное из однородного по наименованию и марке материала без применения сборочных операций (ГОСТ 2.101-68).

 

МАШИННЫМ АГРЕГАТОМ называется техническая система, состоящая из одной или нескольких соединенных последовательно или параллельно машин и предназначенная для выполнения каких-либо требуемых функций. Обычно в состав машинного агрегата входят: двигатель, передаточный механизм и рабочая или энергетическая машина.