Приведение пространственной системы сил к вектору и к главному моменту

Приведение пространственной системы сил к главному вектору и к главному моменту. Пусть на абсолютно твердое тело действует произвольная простран­ственная система сил , тогда справедлива теорема.

Эта система сил может быть заменена одной силой и парой сил, момент которой . Причем сила , называемая главным вектором пространственной системы сил, определяется формулой: (1) и приложена в выбранном центре О. А момент , называемый главным моментом пространственной системы сил, определяется формулой (2) , т. е. равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения.

Доказательство этого утверждения основывается на лемме о параллельном пе­реносе сил. В соответствии с ней все силы исходной системы перенесем параллельно себе в выбранную точку приведения О, при этом получим систему исходящих сил. Как из­вестно, такая система может быть заменена равнодействующей , приложенной в точке О и определя­емой формулой (1). В соответствии с леммой, для того чтобы состояние тела не изменилось при вы­полненном переносе сил, необходимо к телу приложить n пар сил, моменты которых относительно центра О определялись соотношениями: (3).По теореме о сложении пар сил эта система пар сил может быть заменена одной парой, момент которой равен геометрической сумме моментов указанных пар сил и определялся формулой (2). Главный момент М_о этой результирующей пары обычно изображают при­ложенным в центре О, хотя он является свободным вектором и может переноситься параллельно себе в пространстве.

Сложение параллельных сил в пространстве.

Рассмотрим систему параллельных сил прилаженных в точках и направленных в одну сторону. Найдем точку С₂ через которую проходит равнодействующая двух сил , и , потом точку С₃, через которую проходит равнодействующая , сил , и и т.д.

- центр параллельных сил.

Численная величина равнодействующей равна, очевидно, сумме величины заданных сил: .Проектируя обе части равенства на оси координат, получим выражение для координат х₀, у₀, z₀ центра параллельных сил:

где хi у_i, zi - координаты приложения силы .

Когда дана система параллельных сил, направленных в разные стороны, то можем разделить силы этой системы на две группы, каждая из которых включает силы, направленные в одну сторону. Находя равнодействующую, приведем данную систему к системе двух антипараллельных сил.

Центр тяжести тела.

Равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела, будет численно, равна весу тела, а ее линия действия будет проходить ,через точку, совпадающую с центром параллельных сил тяжести частиц тела. При изменении тела в пространстве, что соответствует изменению направлений сил относительно тела, эта точка согласно свойству центра параллельных сил не изменяет своего положения по отношению к телу. Точка, являющаяся центром параллельных сил тяжести частиц тела, называется центром тяжести данного тела.

Пусть имеем некоторое тело. Разобьем его на отдельные частицы и обозначим через Побьем всего тела, DV- объем какой-нибудь частицы, а через DP- вес этой частицы, r- плотность тела. Тогда радиус-вектор или координаты центра масс тела определяются:

;

;

;

.

Иногда приходится находить центр тяжести пластинок. Толщина пластинки по сравнению с двумя другими ее измерениями очень мала и всюду одинакова, поэтому можем находить центр тяжести не объема, а площади. Тогда радиус-вектор и координаты центра тяжести пластинки, расположенной в плоскости:

;

будут определяться формулами:

; ,

где .

В некоторых случаях требуется найти центр тяжести материальной линии, т. е. тела, у которого площадь поперечного сечения всюду одинакова и очень мала по сравнению с длиной. Тогда определение центра тяжести тела сведется к определению центра тяжести линии, положение которой найдется по формуле: .

Теорема 1. Площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Теорема 2. Объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружно­сти, описанной центром тяжести площади фигуры.

Метод группировки.

В задачах о нахождении центра тяжести тела иногда бывает легче определить центры тяжести отдельных его частей, на которые можно разбить тело. Пусть данное тело разбили на несколько частей и определили центр тяжести каждой такой части тела, т. е. нашли: и т.д.

Если теперь сгруппировать слагаемые, то получим: