Полный набор совместно наблюдаемых величин

Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности ( для всех , взаимной независимости (ни один из операторов не может быть представлен в виде функции от остальных, полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций со скалярным произведением:

Операторы являются операторами умножения на соответствующие переменные:

Совместное распределение значений наблюдаемых:

БИЛЕТ 8

1 http://pskgu.ru/ebooks/mespdf1/ms172.pdf

2 2 Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени:

Зависящее от времени уравнение (общий случай)

где — гамильтониан.

Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера в координатном представлении для точечной частицы массы , движущейся в потенциальном поле c потенциалом :

Пример зависящего от времени уравнения Шрёдингера

В данном примере гамильтониан .

В квантовой физике вводится комплекснозначная функция , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространённой копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности)^[15][16] . Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

БИЛЕТ 9

1 Всю квантовую механику можно вывести исходя из 3 простых принципов:

1. Принцип относительности измерений. Результат измерения физической величины зависит от процесса измерения. Т. е. на языке операторов наблюдаемая физическая величина - это собственное значение оператора соответсвующей физ. величины.

2. Принцип неопределенности Гейзенберга. Координаты и импульс невозможно точно измерить одновременно.

3. Константа, определяющая связь классических и квантовых скобок Пуассона равна i/h, где i - мнимая единица, h - циклическая постоянна Планка. Этот принцип экспериментальный, т. к. значение h может быть получено путем сравнения собственных значений оператора энергии на соответсвующих уровнях.

2 Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств и есть линейное пространство, обозначаемое . Для элементов и их тензорное произведение лежит в пространстве .

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств