Виды напряженных состояний в точке деформируемого тела. Круговая диаграмма Мора

В дальнейшем мы увидим, что в окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные напряжения.

В зависимости от того, испытывает параллелепипед «растяжение» («сжатие») в одном, в двух или в трех направлениях (рис. 6.2), различают виды напряженного состояния:

линейное (одноосное) напряженное состояние,

плоское (двухосное) напряженное состояние,

объемное (трехосное) напряженное состояние.

С линейным напряженным состоянием мы уже сталкивались при изучении центрального растяжения (сжатия).

В задачах сопромата часто встречается плоское напряженное состояние. Его характерным признаком является полное отсутствие нормальных и касательных напряжений на двух параллельных гранях параллелепипеда.

Будем полагать, что при плоском напряженном состоянии напряжения не возникают на гранях элементарного параллелепипеда с нормалью x. Тогда вместо объемного параллелепипеда с целью упрощения, мы будем на рисунках показывать проекцию параллелепипеда на плоскость . (штриховкой будем указывать внутреннюю область элемента).

Объемное напряженное состояние в курсе сопротивления материалов практически не изучается.

Определение напряжений в косых площадках по формулам можно заменить простым графическим построением, которое предложил О. Мор (1882).

Возьмем две перпендикулярные оси, назовем одну из них осью , другую осью (рис. 45).

Рис. 45.

Напряженное состояние на любой площадке с нор малью я, заданное величинами напряжений изображается точкой в плоскости х. Будем обозначать эту точку буквой так же как и нормаль к площадке. При переходе от одной площадки к другой, то есть при изменении угла , точка, изображающая напряженное состояние в плоскости , перемещается, описывая замкнутую кривую. Формулы

представляют параметрическое уравнение этой кривой. Легко убедиться, что это окружность. Для построения ее следует отметить на оси о две точки: точку х с абсциссой , и точку у с абсциссой . На отрезке ху как на диаметре строится окружность. Центр ее лежит на оси , на расстоянии —1 от начала координат, а радиус равен то есть наибольшему касательному напряжению.

Чтобы найти точку на круге Мора, следует провести радиус под углом к оси абсцисс, точка пересечения его с окружностью и будет точкой . Обозначения концов горизонтального диаметра круга Мора буквами х и у не случайны и соответствуют общей системе обозначать точки на круговой диаграмме теми же буквами, что нормали к площадкам. На площадке, перпендикулярной оси х, нормальное напряжение равно а касательное равно нулю, как раз такие координаты имеет точка х на диаграмме Мора. Сравнивая рис. 44, а и рис. 45, мы можем подметить простое правило, позволяющее всегда легко установить соответствие между сечениями рассматриваемого тела и точками круговой диаграммы, а именно: дуговое расстояние между точками, изображающими напряженное состояние, измеряется удвоенным углом между нормалями к соответствующим площадкам, при этом направления отсчета углов между нормалями и на круговой диаграмме противоположны. Площадке, перпендикулярной к данной, соответствует диаметрально противоположная точка на круговой диаграмме, точка на рис. 45.

Перечисленные в конце предыдущего параграфа свойства напряженного состояния при двухосном растяжении становятся теперь вполне очевидными.

Действительно, точки имеют одинаковые по величине противоположные по знаку ординаты, полусумма их абсцисс равна отрезку ОС, то есть наибольшее касательное напряжение равно радиусу круга, то есть соответствующая точка находится на конце вертикального диаметра, расстояние ее от точки составляет 90 дуговых градусов, следовательно, угол между площадками равен 45°.

Круг Мора:

– откладываем сигма x (конец в т.В), сигма y (конец в т.А), тау уx, тау xy.

- середина АВ – центр окружности, расстояние О-тау - радиус окружности

- окружность пересекает ось сигма в точках 3 и 1 =>

3-О – сигма макс, О-1 – сигма мин, 3-Тау ху – отрезок для построения угла альяа

Угол альфа –угол между нормалью к площадке и направлением наибольшего главного напряжения

Объемная деформация.