Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

∂Q∂x=∂P∂y.

2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):

⎧⎩⎨∂u∂x=P(x,y)∂u∂y=Q(x,y).

3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y).

4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:

∂u∂y=∂∂y[∫P(x,y)dx+φ(y)]=Q(x,y).

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y):

φ′(y)=Q(x,y)−∂∂y(∫P(x,y)dx).

5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y):

u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y).

6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

u(x,y)=C.

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x).

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон механического движения, описывающий зависимость ускорения тела от равнодействующей всех приложенных к телу сил и массы тела. Один из трёх законов Ньютона.

Объектом, о котором идёт речь во втором законе Ньютона, является материальная точка, обладающая неотъемлемым свойством — инертностью, величина которой характеризуется массой. В классической (ньютоновской) механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами^[1][2][3][4].

Второй закон Ньютона в его наиболее распространённой формулировке утверждает: в инерциальных системах ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению иобратно пропорционально массе материальной точки.

В приведённой формулировке второй закон Ньютона справедлив только для скоростей, много меньших скорости света, и в инерциальных системах отсчёта.

В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

Обычно этот закон записывается в виде формулы:

где — ускорение тела, — сила, приложенная к телу, а — масса материальной точки.

Или в ином виде:

• Формулировка второго закона Ньютона с использованием понятия импульса:

В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе^[6].

где — импульс (количество движения) точки, — её скорость, а — время.

При такой формулировке, как и ранее, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени^[7][8][9].

Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения и на случай тел переменной массы. Однако вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила^[10][11].

Уравнения, соответствующие данному закону, называются уравнениями движения материальной точки.

При независимом выборе единиц массы, силы и ускорения выражение второго закона нужно писать в виде

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:

Что мы видим?
1) В линейное уравнение входит первая производная .
2) В линейное уравнение входит произведение , где – одинокая буковка «игрек» (функция), а – выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от«икс». В частности, может быть константой.

Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.

Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения.

– Как уже отмечалось, выражение может быть некоторой константой (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид:

– Выражение тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: или .

– Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»: – это тоже линейное уравнение.

Поехали.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .