Свойства простой арифметической средины

1. Если результаты измерений свободны от систематических погрешностей, то простая арифметическая средина этих результатов при увеличении числа измерений в пределе стремится к истинному значению измеряемой величины, т.е

.(5.2)

Согласно (2.1) и (2.2) при отсутствии систематических погрешностей можно записать

Δ₁=l₁-X

Δ₂=l₂-X

……………

Δ_n=l_n-X.

Сложив почленно и разделив на n

На основании (5.1) это равенство можно представить в виде

При n→∞ левая часть данного выражения на основании свойства компенсации (2.4) стремится к нулю. Правая его часть так же будет стремится к нулю, что и доказывает справедливость (5.2).

Cледовательно, L – состоятельная оценка величины X.

2. Арифметическая средина независимых равноточных результатов измерений обладает стандартом в раз меньшим стандарта σ этих измерений.

Представим (5.1) в виде

Воспользуемся основной теоремой (4.2)

.

.(5.3)

Наглядно это можно представить, изобразив на рис.5.1, области рассеивания погрешностей Δ и Δ_L:

Область возможного рассеивания погрешностей Δ_L будет тем уже, чем большее число измерений n. В связи с эти возникает вопрос, является ли увеличение количества измерений эффективным средством повышения их точности. При n ≤ 10 на этот вопрос можно ответить положительно. Но при большем n возрастание точности будет идти гораздо медленнее увеличения n. Так, для повышения точности в 4 раза потребуется 16 измерений, в 5 раз – 25, в 6 раз – 36, в 10 раз – 100 измерений.

Кроме того, всегда остаются малые по сравнению со случайными систематические погрешности, которые не удалось полностью исключить. При достижении некоторого n они станут преобладающими в величине L и будут препятствовать дальнейшему повышению точности. И ещё, чем больше число измерений, тем больше времени требуется на их выполнение. В течение этого времени могут изменяться условия, что неизбежно нарушит их равноточность.

3. Если арифметическая средина образована из результатов измерений, свободных от систематических погрешностей, то и сама она не содержит систематической погрешности.

Допустим обратное, т.е. результаты измерений содержат систематические погрешности Θ₁, Θ₂… Θ_n. Тогда на основании (2.1) и (2.2) можно записать:

l₁-X=Θ₁+Δ₁

l₂-X=Θ₂+Δ₂

……………...

l_n-X=Θ_n+Δ_n.

Сложив почленно и разделив на n, получаем:

.

Правая часть полученного уравнения состоит из двух слагаемых, представляющих систематическую и случайную погрешность арифметической средины, откуда следует, если Θ₁=Θ₂=...Θ_n=0, то и будет равно 0, что и доказывает сформулированное выше свойство.

Таким образом, при отсутствии систематических погрешностей арифметическая середина L не только состоятельная, но и несмещённая оценка величины X. Такую оценку принято называть вероятнейшим значением измеренной величины.

При наличии систематических погрешностей арифметическая средина также будет содержать систематическую погрешность

,

а поэтому не будет обладать свойствами 1 и 3 . В этом случае арифметическая средина L хотя и даст наилучшее из возможных приближений к X, но не будет ее вероятнейшим значением.

Ранее в 2.1 было отмечено, что влияние случайных погрешностей можно ослабить надлежащей математической обработкой. Такого рода обработку называют уравниванием результатов измерений.

Отклонения, или вероятнейшие погрешности.
Истинное значение измеряемой величины, как правило неизвестно.

Поэтому случайные погрешности не могут быть вычислены по формуле

,

а значит не может быть вычислена и С.К.П. отдельного измерения по формуле .

Тогда оценку точности измерений проводят по отклонениям или вероятнейшим погрешностям отдельных измерений от арифметической середины: