Толстостенная труба под действием внутреннего давления

Исследование напряжений при давления на одном из контуров

1. Сжимающее радиальное давление на наружном контуре. По формулам (3.7), положив в них р_В = 0, найдем

. (3.9)

Второй член в скобке формулы (3.9) равен единице или меньше ее, поэтому напряжения во всех точках отрицательные, сжимающие. Окружное напряжение по абсолютной величине всегда больше радиального. Наибольшее нормальное радиальное напряжение возникает на наружной поверхности трубы (r = R_н) и равно - р_н,а наибольшее окружное напряжение - на внутренней поверхности (r = R_B) и равно - . Как видно из формулы (3.9), напряжения меняются вдоль радиуса по кри­волинейному закону. Эпюры напряжений показаны на рис. 31,а. Уменьшение наружного радиуса может быть опреде­лено по формуле (3.8) для перемещенияv, если положить в ней р_В = 0, а r = R_B. Тогда

. (3.10)

2. Сжимающее радиальное давление на внутреннем контуре. По формуле (3.7), положив в р_н = 0, найдем

. (3.11)

а б

Рис. 31

Второй член в скобке формулы (3.11) равен единице или больше ее, поэтому напряжения во всех точках трубы отри­цательны, а - положительны. Наибольшее нормальное ради­альное напряжение возникает на внутренней поверхности (r = R_B) и равно - р_B, наибольшее окружное - также на вну­тренней (r = R_B), оно растягивающее и равно .

Закон изменения напряжений вдоль радиуса тоже криволи­нейный [см. формулу (3.11)]. Эпюры напряжений показаны на рис. 31,б. Увеличение внутреннего радиуса может быть по­лучено по формуле (3.8) для перемещений v, если положить в ней р_н = 0, a r = R_B:

. (3.12)

Соотношение окружных напряжений, вычисленных по фор­муле (3.11) при r = R_B и r == R_H ,

. (3.13)

Из формулы (3.13) видно, что чем меньше толщина кольца, т. е. чем ближе друг к другу значения R_B и R_H , тем ближе отно­шение (3.13) к единице, т. е. тем равномернее распределяются напряжения s_T по толщине трубы. Например, при R_B = 0,95, отношение

и окружные напряжения можно считать равномерно распределен­ными по толщине кольца. При большой толщине трубы напря­жения и в точках, удаленных от внутренней поверхности, сближаются по величине и в пределе, при , становятся одинаковыми и противоположными по знаку.

Представим формулу (3.11) в виде

.

Следовательно, если r > 4R_B, напряжения и будут равны и будут составлять меньше 6% от внутреннего давления. На этом основании по формуле (3.11) можно определять радиальные и окружные напряжения в случае плоской деформации тела, имею­щего отверстия, нагруженные радиальным давлением, располо­женные друг от друга на расстоянии больше 8R_B (рис. 32). Внеш­ний контур тела не имеет значения и может быть произвольного очертания.

Рис. 32

Связь напряжения с функцией напряжения