Предел и непрерывность функции многих переменных

Понятия предела и непрерывности функции нескольких переменных вводятся аналогично понятиям предела и непрерывности функции одной переменной.

§ d-окрестностью точки М₀(х₀;у₀) называется множество всех точек М(х;у) плоскости, для которых выполняется условие , то есть внутренних точек круга с центром в точке М₀ и радиусом d. Множество, состоящее из всех внутренних точек круга, за исключением самой точки М₀, называется проколотой d-окрестностью точки М₀.

Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀;у₀), за исключением, может быть, самой этой точки.

§ Число А называется пределом функции z=f(x;y) при (или при М(х;у)®М₀(х₀;у₀)), если для любого существует такое, что для всех точек М(х;у) из проколотой d-окрестности точки М₀(х₀;у₀) выполняется неравенство . Обозначают .

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка М стремится к точке М₀.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной, позволяющими вычислять пределы суммы, произведения, отношения функций.

§ Функция z=f(x;y) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀), если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и имеет предел при М®М₀, равный значению функции в этой точке:

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области, аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке (ограниченность функции, достижимость наибольшего и наименьшего значений и т.п.)

Частные производные, дифференцируемость, градиент функции многих переменных

Частные производные.

Частной производной функции по переменной в точке

называют производную функции

по переменной : .

Дифференцируемость

Опр: Функция определенная в окрестности называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение Δf в :

= – = + , что

Необходимое условие дифференцируемости:

Если ф-ция дифференцируема в , то,

1.Она непрерывна в этой окрестности.

2.Существуют частные производные , i=1,...,m; причем

Док-во:

Если дифф.,то = + + ,

lim lim (при и )=

Следовательно, непрерывна в .

Докажем, что в сущ. =0.

– = + , НО lim =0, . Значит, lim =0 (аналог предела по направлению для функции m переменных)

– = + , где .

( – )/

Тогда в пределе при существует что и требовалось доказать.

Определение. Градиентом функции многих переменных в данной точке называется вектор, координаты которого равны частным производным по соответствующим аргументам, вычисленным в данной точке.

.