Указания к решению задачи 2

2016-01-05

670

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

12 3 4 5 Следующая ⇒

2.2.1. Проектирование схемы фильтра

Для расчета фильтра рекомендуется использовать методику, изложенную в [3]. Согласно указанной методике схема, параметры элементов и характеристики проектируемого фильтра находятся с помощью частотного преобразования фильтра-прототипа нижних частот (ФПНЧ). Ниже приводятся основные этапы расчета и формулы, которые рекомендуется использовать при расчете фильтров.

Прежде всего следует определить порядок ФПНЧ. Для фильтров с характеристиками Баттерворта порядок находится по формуле

. (2.2)

Для фильтров с характеристиками Чебышева

(2.3)

В (2.2) и (2.3) нормированная граничная частота полосы задерживания ФПНЧ рассчитывается по формулам:

для ФНЧ ; (2.4)

для ФВЧ ; (2.5)

для ПФ ; (2.6)

для РФ . (2.7)

В (2.6) и (2.7)

(2.8)

. (2.9)

Рассчитанное значение n следуетокруглить до ближайшего большего целого числа.

Схемы ФПНЧ и нумерация их нормированных элементов в зависимости от порядка фильтра-прототипа и режима работы приведены на рис. 2.2–2.4: на рис. 2.2 –для режима двусторонней нагрузки, на рис. 2.3 – для режима заданного входного напряжения и на рис. 2.4 – для режима холостого хода.

n – четное

n – нечетное

Рис. 2.2. Схема ФПНЧ для режима двусторонней нагрузки

n – четное

n – нечетное

Рис. 2.3. Схема ФПНЧ для режима заданного входного напряжения

n – четное

n – нечетное

Рис. 2.4. Схема ФПНЧ для режима холостого хода

Значения параметров элементов ФПНЧ для фильтров с характеристиками Баттерворта при неравномерности характеристики ослабления в полосе пропускания Dа = 3 дБ и фильтров с характеристиками Чебышева при Dа = 1,25 дБ приведены в табл. 2.6–2.9. Указанные параметры рассчитаны в предположении, что потери в элементах фильтра пренебрежимо малы и граничная частота полосы пропускания ФПНЧ . При других значениях неравномерности Dа параметры элементов ФПНЧ можно рассчитать по формулам из [4], приведенным в прил. 1.

Таблица 2.6

Элементы односторонне нагруженного ФПНЧ с характеристикой Баттерворта

при Dа = 3дБ

n

α₁ 0,1951 0,22225 0,2588 0,3090 0,3827 0,500

α₂ 0,5776 0,6560 0,7579 0,8944 1,082 1,333

α₃ 0,9871 1,055 1,202 1,382 1,577 1,500

α₄ 1,259 1,397 1,553 1,694 1,531 –

α₅ 1,528 1,659 1,759 1,545 – –

α₆ 1,729 1,799 1,553 – – –

α₇ 1,825 1,558 – – – –

α₈ 1,561 – – – – –

Таблица 2.7

Элементы двусторонне нагруженного ФПНЧ с характеристикой Баттерворта

при Dа = 3 дБ

n

α₁ 0,3902 0,4450 0,5176 0,6180 0,7654 1,000

α₂ 1,111 1,247 1,414 1,618 1,848 2,000

α₃ 1,663 1,802 1,932 2,000 1,848 1,000

α₄ 1,962 2,000 1,932 1,618 0,7654 –

α₅ 1,962 1,802 1,414 0,618 – –

α₆ 1,663 1,247 0,5176 – – –

α₇ 1,111 0,445 – – – –

α₈ 0,3902 – – – – –

r₂ 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Таблица 2.8

Элементы односторонне нагруженного ФПНЧ с характеристикой Чебышева

при Dа = 1,25 дБ

n

α₁ 1,179 1,175 1,169 1,159 1,141 1,103

α₂ 1,460 1,454 1,446 1,431 1,401 1,326

α₃ 2,132 2,122 2,106 2,073 1,988 1,577

α₄ 1,646 1,635 1,613 1,556 1,256 –

α₅ 2,216 2,190 2,118 1,723 – –

α₆ 1,658 1,607 1,313 – – –

α₇ 2,158 1,767 – – – –

α₈ 1,333 – – – – –

Таблица 2.9

Элементы двусторонне нагруженного ФПНЧ с характеристиками Чебышева

при Dа = 1,25 дБ

n

α₁ 2,359 2,351 2,339 2,319 2,283 2,206

α₂ 1,057 1,053 1,046 1,035 1,011 0,9487

α₃ 3,314 3,297 3,267 3,204 3,034 2,206

α₄ 1,117 1,108 1,089 1,035 0,761 –

α₅ 3,352 3,297 3,140 2,319 – –

α₆ 1,104 1,053 0,7798 – – –

α₇ 3,171 2,351 – – – –

α₈ 0,7865 – – – – –

r₂ 3,000 1,000 3,000 1,000 3,000 1,000

Параметры элементов проектируемого фильтра определяются путем соответствующего пересчета параметров элементов ФПНЧ по формулам, приведенным в табл. 2.10. Расчет следует выполнить с точностью до четырех значащих цифр.

Таблица 2.10

Преобразование элементов ФПНЧ в элементы фильтров

Элементы ФПНЧ Элементы фильтров Тип фильтра

ФНЧ

ФВЧ

ПФ

РФ

В формулах табл. 2.10 для фильтров, работающих в режиме двусторонней нагрузки либо односторонней нагрузки при холостом ходе на выходе фильтра R0 = R1. В случае односторонней нагрузки при заданном входном напряжении R0 = R2.

При работе фильтра в режиме двусторонней нагрузки величину нагрузочного сопротивления рассчитайте по формуле

2.2.2. Определение передаточной функции фильтра

Передаточная функция полиноминального ФПНЧ определяется выражением

, (2.10)

где – полином Гурвица степени n.

Коэффициент в (2.10) определяет величину ослабления фильтра на частоте . Для ФПНЧ с характеристикой Баттерворта любого порядка при дБ Для ФПНЧ с характеристикой Чебышева при Dа = 1,25 дБ:

.

Индекс при означает порядок n ФПНЧ.

При других значениях неравномерности Dа сомножители полиномов Гурвица и значения коэффициента могут быть получены по формулам, приведенным в прил. 2.

В табл. 2.11 и 2.12 приведены сомножители полиномов для ФПНЧ с характеристиками Баттерворта и Чебышева, параметры которых даны в табл. 2.6–2.9.

Таблица 2.11

Сомножители полинома Гурвица для ФПНЧ с характеристикой Баттерворта

при Dа = 3 дБ

n

Таблица 2.12

Сомножители полинома Гурвица для ФПНЧ с характеристиками Чебышева
при Dа = 1,25 дБ

n

Передаточная функция проектируемого фильтра находится частотным преобразованием передаточной функции фильтра-прототипа нижних частот. Формулы преобразования приведены в табл. 2.13.

Таблица 2.13

Передаточная функция ФПНЧ Формула преобразования Передаточная функция фильтра Тип фильтра

ФНЧ

Окончание табл. 2.13

Передаточная функция ФПНЧ Формула преобразования Передаточная функция фильтра Тип фильтра

ФВЧ

ПФ

РФ

Следует обратить внимание на то, что порядок передаточных функций полосового и режекторного фильтров вдвое превышает порядок их низкочастотных прототипов. Поэтому полином V₁(p), полученный частотным преобразованием полинома второго порядка, содержит два квадратичных сомножителя:

Для вычисления коэффициентов квадратичных сомножителей полинома V₁(p) можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1)

2) ;

3) ;

4) ,

где для ПФ , ; для РФ .

Следует помнить, что коэффициенты a_ik полинома Гурвица V₁(p) должны быть вещественными положительными.

2.2.3. Расчет характеристики ослабления