Сечения конуса плоскостью

При решении задач школьного курса геометрии рассматривают два вида сечений конуса плоскостью:

· сечения, перпендикулярные оси конуса – круги;

· сечения, проходящие через вершину конуса – равнобедренные треугольники;

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.

Виды сечений конической поверхности плоскостью:

· сечение, перпендикулярное оси конической поверхности – окружность;

· сечение, параллельное одной из образующих – парабола т.е. ________________________________

__________;

· сечение, параллельное двум образующим – гипербола, т.е. множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек плоскости есть величина постоянная.

· сечение, не перпендикулярное и не параллельное оси конической поверхности – эллипс.

· сечение, проходящее через две образующие – пара пересекающихся прямых;

Докажем два утверждения.

Утверждение 2. Сечение конической поверхности, параллельное двум образующим конуса – гипербола.

Пусть плоскость α, параллельная двум образующим конуса, пересекает поверхность конуса по некоторой линии l. Докажем, что эта линия – гипербола.

Рассмотрим два равных шара, которые касаются боковой поверхности конуса и плоскости сечения. Пусть точки F₁ и F₂ – точки касания с плоскостью сечения. Через произвольную точку M линии l проведём образующую t. Пусть длина отрезка AA₁ этой образующей, заключённого между диаметральными плоскостями шаров, перпендикулярными образующим конуса, равна 2a. Тогда по свойству касательных, MF₁=MA₁, MF₂ = MA₂, следовательно, |MF₁–MF₂|=|MA₁–MA₂=2a|, т.е. |MF₁–MF₂| = const, значит, линия l – эллипс.Š

 

Утверждение 3. Сечение конической поверхности, не перпендикулярное и не параллельное оси конической поверхности – эллипс.

Сделать чертёж и доказать самостоятельно.

 

2.4. Усечённый конус

Усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса. Основание данного конуса и круг, полученный в сечении, называются основаниями усечённого конуса. Высотой усечённого конуса называется отрезок, соединяющий центры его оснований; боковой поверхностью – часть конической поверхности, расположенная между основаниями усечённого конуса. Отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями усечённого конуса называются его образующими.

Усечённый конус может быть получен путём вращения прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Теорема(о площади боковой поверхности усечённого конуса). Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на длину образующей: , где R и r – радиусы оснований, l – длина образующей.

…

 

 

Теорема(об объёме усечённого конуса). Объём усечённого конуса, высота которого равна H, а радиусы оснований равны R и r, вычисляется по формуле .

…

 

Сфера и шар

Сфера –поверхность, образованная при повороте полуокружности вокруг прямой, содержащей диаметр, проходящий через концы этой полуокружности.	Сфера –множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, данное расстояние – радиусом сферы.
Шар –геометрическое тело, образованное при повороте полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр полукруга, принадлежащий его границе.	Шар –множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии не больше данного.

Теорема (о взаимном расположении сферы и плоскости). Пусть d – расстояние от центра O сферы радиуса r до плоскости α. Тогда:

1) если d < r, то сечение сферы плоскостью α есть окружность с центром O₁ радиуса , где O₁ – проекция точки O на плоскость α;

2) если d = r, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку;

3) если d > r, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

1) Пусть d < r, плоскость a пересекает сферу W(O, r) по какой-то лини L. Пусть точка M – произвольная точка линии L, тогда в треугольнике OO₁M:

ÐOO₁M=90° (OO₁^MO₁, т.к. OO₁^a и MO₁Ìa), катет MO₁= . Значит, все точки линии L равноудалены от точки O₁, следовательно, сечение сферы плоскостью a есть окружность с центром в точке O₁ и радиусом .

2) Пусть d = r. Расстояние от точки O до плоскости a меньше расстояния от точки O до любой точки плоскости a, отличной от точки O₁, значит, точка O₁ – единственная точка плоскости a, принадлежащая сфере.

3) Пусть d > r. Расстояние от точки O до любой точки плоскости a, отличной от точки O₁, больше d. А d > r, значит, сфера и плоскость не имеют общих точек.Š

Следствие. Сечение шара плоскостью есть круг.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью, а сечение этой плоскостью – большой окружностью (большим кругом). Концы диаметра, перпендикулярного диаметральной плоскости, называются полюсами сферы.

Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой (шаром) только одну общую точку. Она называется точкой касания. Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару).

Теорема (признак касательной плоскости)

 

…

 

Теорема (о свойстве касательной плоскости)

 

…

 

 

Сферическим (шаровым) сегментом называется часть сферы (шара), отсекаемая плоскостью. Окружность (круг), по которой плоскость пересекает сферу (шар), называется основанием сферических (шаровых) сегментов, на которые плоскость разбивает сферу. Высотой сферического (шарового) сегмента называется длина отрезка диаметра, перпендикулярного основанию сегмента, расположенного между этим основанием и сферой. (На рисунке AF и BF – высоты соответствующих сферических (шаровых) сегментов).

Сферическим поясом (шаровым слоем) называется часть сферы (шара), расположенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Основаниями сферического пояса (шарового слоя) называются окружности (круги), которые получаются в сечении сферы (шара) этими плоскостями. Высотой сферического пояса (шарового слоя) называется расстояние между плоскостями. (На рисунке FE – высота сферического пояса (шарового слоя).)

Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Высотой шарового сектора называется высота соответствующего ему шарового сегмента. (На рисунке AB – высота шарового сектора).

Площадь сферического сегмента , где R – радиус сферы, h – высота сегмента.

Площадь сферического пояса , где R – радиус сферы, h – высота пояса.

Площадь сферы , где R – радиус сферы.

Объём шарового сектора , где R – радиус шара, h– высота сектора.

Объём шарового сегмента , где R – радиус шара, h – высота сегмента.

Объём шара , где R – радиус шара.