Предел функций в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функций. Замечательный предел

1 замечательный предел. при u o при x o

Справедливы формулы:

1) 3)

2) 4)

При помощи 1 замечательного предела раскрывается неопределенность

Пример:

1)

Замечательный предел

e 2,7182

, где при

,

Справедливы формулы

1) 3)

2)

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается

Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается

Геометрический смысл.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции в точке существует и равен , если для любой -окрестности точки можно указать такую -окрестность точки , что для любого из этой -окрестности значение будет находится в -окрестности точки .

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при не важно, какое значение принимает функция в самой точке . Можно привести примеры, когда функция не определена при или принимает значение, отличное от . Тем не менее, предел может быть равен .

Теоремы о пределах

1. Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < dимеет место неравенство |f(x)| > M.

lim_{x® a}=¥

2. Функция ограниченная при x® a.

3. Функция ограниченная при x® ¥.

4. Теорема. Если lim_{x® a} f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x® a.

5. Бесконечно малые и их свойства. lim_{x® a} a(x)=0

Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то lim_{x® a} f(x)=b и обратно, если lim_{x® a}f(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x).

Теорема. 2. Если lim_{x® a} a(x)=0 и a(x) ¹ 0, то 1/a® ¥.

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

6. Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u(x) £ z(x) £ v(x), и lim_{x® a} u(x)=lim_{x® a} v(x)=b, то lim_{x® a} z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

7. Первый замечательный предел.

при n® ¥ имеет предел, заключенный между 2 и 3.

25.Понятие предела функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Замечательный предел.

Определение: функция y=f(x)-называется бесконечно малой если

Lim f(x)=0 или lim f(x)=0

Определение: функция y=f(x)- называется бесконечно большой если:

Lim f(x)=∞ или lim f(x)=∞

1)Если f(x)- бесконечно малой, то – бесконечно большой

Lim f(x)=0, то lim = =∞

2) Если f(x)- бесконечно большой, то – бесконечно малой

Lim f(x)=∞, то lim = =0

Свойства пределов

Пусть lim f(x) и lim g(x) – существуют

1)lim (f(x)±g(x))=lim f(x)+lim g(x)

2)lim (f(x)·g(x))=lim f(x)·lim g(x)

3)lim = (lim g(x)≠0)

4) lim c=c (c-число)