Построим график Эмпирической функции

Курсовая работа

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ»

(10 ВАРИАНТ)

 

 

Рецензент:

____________Клевец В.В

подпись

___________________

оценка дата

 

Разработала:

Студентка группы 62-4

Кожокару А.Г,

Степанов Е.О

___________________

дата сдачи подпись

 

 

Красноярск

 

__________

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО "Сибирский государственный технологический университет"

Кафедра математики и информатики

 

 

ЗАДАНИЕ для курсовой работы

Студент Кожокару А.Г, Степанов Е.О

ФакультетХТ гр. 62-5

Тема курсовой работы: Математическая обработка статистических данных.

Приводятся результаты 100 наблюдений (Таблица.1) над некоторой случайной двумерной величиной Х(стаж работы) и У(среднегодовое превышение нормы)

Цель курсовой работы для каждой случайной величины Х(стаж работы) и У(среднегодовое превышение нормы) выполнить следующие исследования:

 

1. Построить интервальный и дискретный статистические ряды распределения частот и относительных частот.

2. Построить гистограмму и полигон относительных частот.

3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

4. Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.

5. Сделать предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины, исходя из механизма ее образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значения выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса .

6. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, предполагая, что наблюдаемая случайная величина распределена по нормальному закону, и записать функцию плотности распределения вероятностей.

7. Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения.

8. В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения.

9. Провести корреляционный анализ:

а) составить корреляционную таблицу;

б) найти выборочный коэффициент корреляции;

в) проверить значимость выборочного коэффициента корреляции

r_в при а=0.05(Н_о:р=0), при альтернативной гипотезе Н_а:р 0;

г) построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем подобрать общий вид функции регрессии;

д) найти эмпирические функции регрессии У(среднегодовое превышение нормы) на Х(стаж работы),Х(стаж работы) на У(среднегодовое превышение нормы) и построить их графики.

 

Задание выдано ___08.12.2011

Руководитель______________

 

ВВедение

 

Обработка статистических данных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческой деятельности. Вообще говоря, трудно назвать ту сферу, в которой она бы не использовалась.

Всесторонний и глубокий анализ информации, так называемых статистических данных, предполагает использование различных специальных методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Итак, задачи математической статистики состоят в указании способа сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений и в разработке методов анализа статистических данных в зависимости от целей исследования

Данная работа посвящена обработки статистических данных результата стажа работы и среднегодовых превышений нормы

Вариант 10

Результат стажа работы(Х, год) и среднегодовое превышение норм (У, %) приведены в таблице.1

ТАБЛИЦА.1

Сводная таблица наблюдаемых значений случайных величин Х(стажа работы) и У(среднегодовое превышение нормы)

№

Х

У

№

Х

У

№

Х

У

№

Х

У

№

Х

У

 

Требуется провести статистическую обработку экспериментальных данных пунктов 1-9 согласно заданию для курсовой работы

Содержание

 

введение.............................................................................................................................................3

Задание...............................................................................................................................................4

Таблица наблюдаемых значений......................................................................................5

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛЕЧИНЫ Х(стаж работы).............. ........6

• пункт 1 Интервальный и дискретный статистические ряды распределения

частот и относительных частот......................................................................................................6

• пункт 2Гистограмма и полигон относительных частот....................................................7
• пункт 3 Эмпирическая функция распределения и ее график............................................7
• пункт 4 Числовые характеристики выборки.......................................................................8
• пункт 5 Предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины...................................................................................................................................10
• пункт 6Точечные оценки параметров нормального закона распределения..................11
• пункт 7Гипотеза о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения ......................................................11
• пункт 8 Интервальные оценки параметров нормального закона распределения .........14

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛЕЧИНЫ У(среднегодовое превышение нормы)....................................................................................................................................................15

• пункт 1 Интервальный и дискретный статистические ряды распределения
• частот и относительных частот...............................................................................................15
• пункт 2Гистограмма и полигон относительных частот...................................................16
• пункт 3 Эмпирическая функция распределения и ее график...........................................16
• пункт 4 Числовые характеристики выборки......................................................................17
• пункт 5 Предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины...................................................................................................................................19
• пункт 6Точечные оценки параметров нормального закона распределения..................20
• пункт 7Гипотеза о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения ......................................................20
• пункт 8 Интервальные оценки параметров нормального закона распределения..........23

ПУНКТ 9 Корреляционный анализ...................................................................................................24

Вывод.................................................................................................................................................28

Заключение...................................................................................................................................29

Список использованной литературы ..........................................................................30

 

 

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛЕЧИНЫ У(Среднегодовое превышение нормы)

ПУНКТ 1 Интервальный и дискретный статистические ряды распределения частот и относительных частот.

Статистическая обработка результатов эксперимента в случае выборки большого объема(n> 50) начинается с группировки выборочных значений, то есть с разбиения наблюдаемых значений Случайной Величины на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попаданий значений Случайной Величины в частичные интервалы.

Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:

,

где У_max , У_min –соответственно максимальное и минимальное выборочные значения СВ У(Среднегодовое превышение нормы), n—объем выборки.

Для СВ У(Среднегодовое превышение нормы) n=100, У_max =8, У_min=2. Следовательно,

а₁= У_min-- =2-- =2—0.4=1.6

а₂= а₁+h=1.6+0.8=2.4

Составим таблицу (таб.5) Таблица.5

 

Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки

интервалы (аi;ai+1)	середины интервалов	подсчет частот	частоты ni	относит. частоты Wi=ni/n	накопительные относительные частоты
(1.6;2.4]				0.01	0.01
(2.4;3.2]	2.8			0.09	0.1
(3.2;4]	3.6			0.22	0.32
(4;4.8]	4.4				0.32
(4.8;5.6]	5.2			0.33	0.65
(5.6;6.4]				0.17	0.82
(6.4;7.2]	6.8			0.14	0.96
(7.2;8]	7.6			0.04	1.00

ПУНКТ 2 Гистограмма и полигон относительных частот

Первый и пятый столбцы таблицы 5 составляют интервальный статистический ряд относительных частот, графическое изображение которого—гистограмма относительных частот (ступенчатая фигура на рис.4)

Дискретный статистический ряд относительных частот задается вторым и пятыми столбцами, графическое изображение, которого—полигон относительных частот (изображен на рис.4 ломаной линией)

 

Рис.4—гистограмма и полигон относительных частот

 

ПУНКТ 3 Эмпирическая функция распределения и ее график

Эмпирическая функция распределения F^*(у) выборки служит для оценки функции распределения F(у) генеральной совокупности.

Функция F^*(у) определяет для каждого значения У(среднегодовое превышение нормы) относительную частоту событий Х<х:

F^*(у)= ,

где n_у-число выборочных значений, меньших у; n-объем выборки.

Шестой столбец таблицы 5 содержит накопленные частоты, то есть значения эмпирической функции распределения F^*(у), они относятся к верхней границе частного интервала.

Эмпирическая функция распределения F^*(у) имеет вид:

 

 

F^*(у)=

 

График эмпирической функции распределения F^*(у) изображен на рис.5

 

рис.5—График эмпирической функции распределения

 

 

ПУНКТ 4 Числовые характеристики выборки

Для вычисления числовых характеристик выборки (у, Д_у, S_у^*, Э_у^*) удобно использовать таблицу.6,где в первых двух столбцах приведены сгруппированные исходные данные, а остальные столбцы служат для вычисления числовых характеристик
Таблица 6

Таблица для расчета числовых характеристик выборки

середин интервалов уi	Частоты ni	уi—у	(уi—у )ni	(уi—у )2ni	(уi—у )3ni	(уi—у )4ni
		-3.056	-3.056	9.339	-28.540	87.219
2.8		-2.256	-20.304	45.805	-103.338	233.130
3.6		-1.456	-32.032	46.639	-67.905	98.870
4.4		-0.656
5.2		0.144	4.752	0.062	0.098	0.014
		0.944	16.048	15.149	14.300	13.500
6.8		1.744	24.416	42.581	74.262	129.513
7.6		2.544	10.176	25.887	65.858	167.543
Σ		-		185.462	45.265	729.789

 

Выборочное среднее вычисляется по формуле:

,

где m—число интервалов, х_i—середины интервалов

Выборочное среднее дает усредненное значение среднегодового превышения нормы для данной выборки.

 

Выборочную дисперсию для сгруппированных данных вычисляют по формуле:

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле:

.

Для СВ У(среднегодовое превышение нормы) S_у=

 

Оно показывает разброс выборочных значений у_i, относительно выборочного среднего у=7.988

 

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам:

 

 

Используя суммы из последних строк шестого и седьмого столбцов таблицы 5,

получим:

 

0 говорит о несимметричности полигона (гистограммы) относительно выборочного среднего . Отрицательный знак выборочного коэффициента асимметрии свидетельствует о левосторонней асимметрии данного распределения

 

ПУНКТ 5 Предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины У(среднегодовое превышение нормы)

 

Мы предварительно предполагаем, что СВУ(среднегодовое превышение нормы) распределена нормально по совокупности следующих признаков.

Вид полигона и гистограммы относительных частот напоминает нормальную кривую (кривую Гаусса)

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса

отличаются от значений асимметрии и эксцесса для нормального распределения (которые равны нулю) не более чем на утроенные средние квадратические ошибки

их определения.

,

,

где

Можно предположить, что стаж работы (СВ У) изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе.

Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что распределение СВ У(среднегодовое превышение нормы) является нормальным

 

ПУНКТ 6 Точечные оценки параметров нормального закона распределения

 

Функция плотности нормального распределения имеет вид

В качестве неизвестных параметров а и σ возьмем их точечные оценки и S_у= соответственно. Тогда дифференциальная f(у) и интегральная функции F(у) предполагаемого нормального закона распределения примут вид:

;

 

ПУНКТ 7 Гипотеза о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения

 

Гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по предлагаемому нормальному закону, назовем нулевой

(Н_о:У N(a,σ)), тогда Н_а:У N(a, σ)

Проверяем ее с помощью критерии согласия χ² Пирсона.

Согласно критерию Пирсона сравниваются эмпирические n_i(наблюдаемые) и теоретические np_i(вычисленные в предложении нормального распределения)

частоты. В качестве критерия проверка нулевой гипотезы принимается случайная величина.

По таблице критических точек распределения χ² по заданному

уровню значимости а и числу степеней свободы v=S-r-1 находим критическое

значение χ²_крит(а,v)

 

Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то вероятности p_i рассчитываются с помощи функции Лапласа Ф(х):

где у=5.056, S_у=1.36

 

 

 

Вычисления сведем в таблицу.7 Количество интервалов S=6.

Так как предполагается нормальное распределение имеющее два параметра(математическое ожидание а и среднее квадратические отклонение σ), поэтому r=2, тогда число степеней свободы v=S-r-1=6-2-1=3

 

Таблица 7

Расчетная таблица для вычисления

интервалы (хi;хi+1)	частоты эмпирические ni	Вероятности рi	Теоретические частоты npi
(-∞;2.4]		0.02559	2.56	0.9506
(2.4;3.2]		0.06141	6.14	0.0596
(3.2;4]		0.13365	13.37	5.5704
(4;4.8]		0.204	20.4	20.4
(4.8;5.6]		0.23077	23.08	4.2637
(5.6;6.4]		0.18349	18.35	0.1038
(6.4;7.2]		0.10404	10.40	1.2461
(7.2;+ ∞]		0.05705	5.70	0.5070
Σ		1.00		33.098

 

Значение =33.098

 

В таблицах критических точек распределения по уровню значимости а=0.05 и числу степеней свободы v=3 найдем критическое значение χ²_крит(0.05,3) =7.815

Так как условие < χ²_крит не выполняется будем считать, что гипотеза не согласуется с экспериментальными данными и ее надо отвергнуть

Построим график Эмпирической функции

рис.6—График эмпирической функции и полигона