Разработка моделей приборов по описывающим их дифференциальным уравнениям в частных производных

5.3.1. Введение. Работа физического прибора основана на передаче информации между отдельными точками пространства, причем такие передачи связаны с временными задержками. Чтобы составить полную и адекватную модель прибора, необхо­димо ввести в нее в качестве параметров пространственные ко­ординаты и время. А это в конечном счете приводит к необхо­димости решения дифференциальных уравнений в частных про­изводных, описывающих такие хорошо изученные приборы, как, например, диод или транзистор. Если рассматриваются приборы, принципы работы которых изучены недостаточно хорошо (при­мером может служить полевой транзистор), то при разработке их модели они разделяются на зоны, физические принципы пове­дения которых

Фиг. 5.1. Движение неосновных носителей в полупроводникерешения дифференциальных уравнений в частных производных, на основе которых получают схемные модели активных эле­ментов.

достаточно ясны. Модель каждой зоны представ­ляется упрощенной радиоэлектронной схемой; общая модель прибора образуется в результате соответствующего объединения моделей всех зон.

Такой эвристический подход оправдан, когда: а) не ясна фи­зика работы прибора или нет четкого понимания используемого технологического процесса; б) приближенная модель обеспечи­вает получение достаточно точных результатов в конкретном схемном применении прибора.

Нужно, однако, учитывать, что к численному моделированию зачастую обращаются как раз тогда, когда оказывается, что схема работает иначе, чем предсказывают упрощенные модели активных элементов. В этих случаях как раз необходимо распо­лагать более детальными и точными методами моделирования физических приборов с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. В этом разделе будут изложены методы

5.3.2. Уравнение непрерывности. Большинство моделей полу­проводниковых приборов в настоящее время основаны на пред­положении, что ток обусловлен движением неосновных носите­лей, т. е. перемещением носителей р-типа в полупроводнике n-типа, и наоборот.

Ток диффузии в полупроводнике n-типа описывается уравне­нием, связывающим число носителей р-типа, которые поступают в единицу объема, выходят из него и накапливаются в нем за единицу времени (фиг. 5.1). Это есть так называемое «уравне­ние непрерывности», в котором символически записано, что

+

или

(5.1)

где q — заряд электрона; A — площадь поперечного сечения рас­сматриваемой единицы объема; х — длина единицы объема; p'{x,t)—концентрация неосновных носителей; р₀ — концентра­ция неосновных носителей при нулевом возбуждении (равновес­ная концентрация); — время жизни носителей p-типа в полу­проводнике n-типа. Поделив обе части (5.1) на и перейдя к пределу при 0, получим дифференциальное уравнение в частных производных

(5.2)

Ток диффузии x,t) связан с концентрацией неосновных носи­телей уравнением

i_p=-qAD_p ,

где D_p — коэффициент диффузии. При этом уравнение (5.2) при­нимает вид

.

Удобно ввести определение «избыточной» концентрации носи­телей

р(х, t) = р'(x, t) - p₀.

Так как частные производные от p(x,t) и p'(x,t) одинаковы, то в окончательном виде уравнение диффузии записывается в сле­дующей форме:

(5.3)

Это уравнение является линейным дифференциальным уравне­нием в частных производных с постоянными коэффициентами. Далее будет показано, что схемная модель состоит из линейных элементов с фиксированными параметрами.