Решение задачи построения модели для одного шага интегрирования методами Эйлера и Рунге-Кутта

Начальные условия

Для решения задачи построения модели расчета траектории неуправляемого летательного аппарата на одном шаг интегрирования системы, определяющей движение ЛА в начале активного участка траектории, методами Эйлера и Рунге - Кутта начальными условиями будут:

· шаг интегрирования h равняется 0.01 с. (h=0.01 с.);

· начальный момент времени

· скорость ЛА в момент схода с направляющих;

· угол наклона направляющих

· начальная абсцисса

· начальная ордината

 

 

Расчет системы уравнений методом Эйлера

Рассмотрим уравнения движения в проекциях на касательную и нормаль к траектории:

(1)

(2)

(3)

(4)

при начальных условиях:

;

Примем за шаг интегрирования с.

По известным начальным условиям определим значения производных , , , в начальной точке где :

где где

где H=7800 м,

 

где

где

где

 

Определим новое значение функций :

 

Расчет системы уравнений методом Рунге-Кутта

Рассмотрим уравнения движения в проекциях на касательную и нормаль к траектории:

(1)

(2)

(3)

(4)

при начальных условиях:

Примем за шаг интегрирования с.

Пусть где

При :

:

:

:

Будем рассматривать систему трёх дифференциальных уравнений для определения v, θ и y, а x определять после определения v, θ и y.

По известным начальным условиям определим значения производных , , в начальной точке А, где :

где где

где H=7800 м,

где

где

Из начальной точки A проведём прямую и отметим значение её ординаты в середине шага интегрирования (точка B с координатами ):

где

где

где

Найдём значения производных , , в точке B:

где где

где H=7800 м,

где

где

Проведём из точки А прямую и отметим значение её ординаты в середине шага интегрирования (точка С с координатами ):

где

где

где

Найдём значения производных , , в точке С:

где где

где H=7800 м,

 

где

где

Проведём из точки А прямую и отметим значение её ординаты в конце шага интегрирования (точка D с координатами ):

где

где

где

Найдём значения производных , , в точке D:

где где

где H=7800 м,

где

где

5. Согласно расчётным формулам метода Рунге-Кутта :

Определим новое значение функций :

где

где

где

Определим новое значение функции

 

 

Сравнение решений тестового примера на 1 шаг, полученных без ПК

Сравнение результатов производится в соответствии с данными, представленными в таблице 6:

Таблица 6

Обозначения
Ручной счет методом Эйлера	23.749	0.782	1.928	1.928
Ручной счет методом Рунге-Кутта	23.761	0.782	1.931	1.932

 

Результаты расчета траекторных параметров неуправляемого ЛА

Движение по направляющим

Результатами расчета траекторных параметров данного участка траектории являются значения дульной скорости v_д и дульного времени t_д (см. Таблица 3).