Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы, определить полосу пропускания системы, резонансную частоту, показатель колебательности

Курсовая работа по курсу

Теория автоматического управления

 

Вариант 2

 

Выполнил:

Студент 3-го курса

группы Н172

Аншуков И.А.

 

Преподаватель:

Коробова И. Л.

 

 

Санкт-Петербург

Содержание

 

 

Определить передаточную функцию разомкнутой системы с коррекцией в цепи обратной связи и построить её логарифмические частотные характеристики.

Дать заключение об устойчивости замкнутой системы, определить запасы устойчивости.

Оценить показатели качества замкнутой системы, определив нули и полюса передаточной функции.

3. Построить графики переходной функции и импульсной переходной функции определить показатели качества переходного процесса (для оценки времени регулирования принять ∆=3%).

Найти аналитическое выражение импульсной переходной функции. Выделить составляющую найденной функции, соответствующую доминирующим полюсам, сравнить графики функции и указанной её составляющей.

Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы, определить полосу пропускания системы, резонансную частоту, показатель колебательности.

6. Найти уравнения состояния и выхода замкнутой системы. Проверить свойства управляемости и наблюдаемости этих вариантов.

 

 

Определить передаточную функцию разомкнутой системы с коррекцией в цепи обратной связи и построить её логарифмические частотные характеристики:

 

 

 

Передаточная функция разомкнутой системы:

 

 

Приведем к каноническому виду, используя команду zpk в пакете Matlab:

 

Находим ЛАЧХ и ФЧХ системы, используя пакет Matlab:

 

 

>> num=[ 1.875,77.5,500];

>> den=[3e-006,0.000134,0.9469,31.44,1,0];

>> w=logspace(-3,3);

>> [gam,fi]=bode(num,den,w);

>> semilogx(w,20*log10(gam));

>> grid

>> title('L(w)')

>> semilogx(w,fi)

>> grid

>> title('fi')

>> title('fhase')

 

 

Дать заключение об устойчивости замкнутой системы, определить запасы устойчивости:

Разомкнутая система не имеет корней с положительной вещественной частью, поэтому

по критерию Найквиста, для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛФЧХ разомкнутой системы в области частот, где ЛАЧХ положительна, принимала значение -180˚ четное число раз или не принимала этого значения, следовательно, данная система устойчива, т.к. ЛФЧХ не принимала значение ни разу в области частот, где ЛАЧХ положительна.

 

Используя функцию

>> U = 1/((1/W)+H)

>> [g f wg wf]=margin(U)

определим:

 

запас устойчивости по фазе f и соответствующая частота wf:

 

f = 28.346, wf = 4.2448

 

запас устойчивости по амплитуде g и соответствующая частота wg:

g=20*lg(g) =20*lg(5.7582)=15.2

 

wg = 561,39

 

Запас устойчивости по фазе определяется на частоте, при которой ЛАЧХ принимает значение 0.

Запас устойчивости по амплитуде определяется на частоте, при которой ФЧХ принимает значение -180˚.

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, используя Matlab (bode(u)):

 

Оценить показатели качества замкнутой системы, определив нули и полюса передаточной функции:

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

 

Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero:

 

 

>>pole(ui)

>>zero(ui)

 

 

Полюса (знаменатель)

ans =

 

-4.7187 + 561.42i

-4.7187 - 561.42i

-33.21

-1.0099 + 3.8603i

-1.0099 - 3.8603i

Нули (числитель)

ans =

 

-33.333

-8

 

Показатели качества:

 

Степень устойчивости:

 

Время регулирования:

 

Степень колебательности:

 

Колебательность связана с корневым показателем запаса устойчивости с так называемым затуханием. Комплексно сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса вида

Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором времени эта амплитуда равна

Через один период

 

Затуханием за период называют величину

Подставляя значение амплитуды , получаем

 

 

Построить графики переходной функции и импульсной переходной функции определить показатели качества переходного процесса(для оценки времени регулирования принять ∆=3%):

Передаточная функция замкнутой системы:

 

 

Построим графики переходных функций во временных осях, используя пакет Matlab и команды step(sys) и impulse(sys).

 

Показатели качества переходного процесса:

 

Апериодическая функция - т.к. 1 максимум.

- время, когда впервые достигается

-время достижения максимума.

-время регулирования.

3%

 

Перерегулирование:

 

Частота колебаний:

 

n – число колебаний за время регулирования =3.

 

 

 

График переходной функции.

График импульсной переходной функции.

Найти аналитическое выражение импульсной переходной функции. Выделить составляющую найденной функции, соответствующую доминирующим полюсам, сравнить графики функции и указанной её составляющей:

Передаточная функция замкнутой системы:

С помощью программы Матлаб найдем полюса и вычеты для импульсной

функции системы. При использовании команды:

 

>>[R,P,K]=residue(num,den),

 

где результатом выполнения этой команды будут векторы-столбцы вычетов R и полюсов Р.

Так как у нас комплексно-сопряженные полюса и вычеты, то такую пару слагаемых объединим:

Общая формула:

R =

 

-0.9913 + 0.019108i

-0.9913 - 0.019108i

-0.0057964

0.99419 - 1.8026i

0.99419 + 1.8026i

 

P =

 

-4.718 + 561.42i

-4.718 - 561.42i

-33.211

-1.0098 + 3.8601i

-1.0098 - 3.8601i

 

1)

 

Где оригинал:

 

 

2)

Оригинал:

3)

 

Где оригинал:

.

 

Импульсная переходная функция:

 

 

Выделим составляющую найденной функции, соответствующую доминирующим полюсам

 

Определим её график с помощью Matlab:

 

Код программы:

 

>>T=0:0.001:7

>> y1=1.988*exp(-T).*cos(3.86*T)-3.6*exp(T).*sin(-3.86*T)

>>ys=1.98*exp(-4.718*T).*cos(561.42*T)-0.038*exp(-4.718*T).*sin(561.42*T)-0.0058*exp(-33.211*T)-1.988*exp(-1*T).*cos(3.86*T)-3.6*exp(-1*T).*sin(3.86*T)

>> plot(T,ys,T,y1), grid

 

График функции y(t)

Графики функций w(t) и y(t)

Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы, определить полосу пропускания системы, резонансную частоту, показатель колебательности:

 

Передаточная функция замкнутой системы:

 

Используем Matlab:

 

>> bode(Uzamkn)

 

 

 

Показатель колебательности:

 

 

Резонансная частота:

 

.

 

 

Полоса пропускания:

 

.

.

 

Частота среза:

 

.

.

 

Время регулирования:

 

 

Найти уравнения состояния и выхода замкнутой системы. Проверить свойства управляемости и наблюдаемости этих вариантов:

 

Передаточная функция замкнутой системы:

 

 

Уравнение состояния и выхода имеют вид:

 

Составим систему для нахождения коэффициентов

 

 

 

C =

 

-1.6254e-011

1.7316e-009

6.25e+005

-3.0417e+006

-1.9696e+011

 

Отсюда найденные коэффициенты:

 

 

Составим уравнение состояния и выхода для нашей системы:

 

 

Наблюдаемость и управляемость:

Для проверки свойств управляемости и наблюдаемости этих вариантов, воспользуемся пакетом Матлаб:

 

>>A1=[0 1 0 0 0;0 0 1 0 0;0 0 0 1 0; 0 0 0 0 1;166666660 26166666 11106666 315633.3 46.2]

>>B1 = [-1.6254e-011; 1.7316e-009; 6.25e+005; -3.0417e+006; -1.9696e+011]

>>C1=[1 0 0 0 0]

>>K=[B1 A1*B1 A1^2*B1 A1^3*B1 A1^4*B1]

>>rank(K)

>>G=[C1;C1*A1;C1*A1^2;C1*A1^3;C1*A1^4]

>> rank(G)

 

K =

 

-1.6254e-011 1.7316e-009 6.25e+005 -3.0417e+006 -1.9696e+011

1.7316e-009 6.25e+005 -3.0417e+006 -1.9696e+011 -3.1179e+012

6.25e+005 -3.0417e+006 -1.9696e+011 -3.1179e+012 -6.2329e+016

-3.0417e+006 -1.9696e+011 -3.1179e+012 -6.2329e+016 -6.0513e+018

-1.9696e+011 -3.1179e+012 -6.2329e+016 -6.0513e+018 -1.9992e+022

 

rank(K) = 3

 

G =

 

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

 

rank(G) = 5

 

Если ранг K=n , то система вполне управляемая;

Если ранг G=n , то система вполне наблюдаемая.

 

У нас выполняется только второе условие, следовательно, наша система неуправляемая, но наблюдаемая.

 

Список используемой литературы.

 

1. В.А Бесекерский, Е.И. Попов. Теория систем автоматического управления. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб: Изд-во Профессия, 2003.
2. И.Л. Коробова, В.Н. Щерба. Применение преобразования Лапласа для решения инженерных задач: учебное пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2005.
3. И.Л. Коробова, Б.П. Родин. Теория автоматического управления: пособие к практическим занятиям / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2008.