Расчет толстостенной трубы

При нагружении трубы внутренним или внешним давлениями пластические деформации появляются в точках внутренней поверхности и поэтому пластической является кольцевая область радиуса r_t, примыкающая к отверстию.

В упругой области радиальные σ_r и окружные σ_t напряжения определяются по формулам: , которые удобно записывать в виде:

(1)

где τ_t – предел текучести при сдвиге.

По условию задачи

(2)

Здесь ε₀ - объемная деформация.

На основании обобщенного закона Гука с учетом (2) получаем зависимость между напряжениями:

(3)

которая справедлива и за пределами упругости. Это можно показать, используя соотношения между напряжениями и деформациями за пределами упругости.

Определим напряжения в пластической области. Уравнение равновесия элемента трубы имеет вид

. (4)

Разность напряжений во втором слагаемом пропорциональна интенсивности напряжений, которая в данной задаче равна

Подставляя в это соотношение выражение σ_z и учитывая, что интенсивность напряжений – величина положительная, получим σ_i=√3*‌‌‌|σ_t-σ_r|/2. Так как разность σ_t-σ_r может иметь различный знак, то последнее удобно представить в виде

(5)

где χ=±1, причем знак определяется условиями нагружения.

Подставив в уравнение равновесия (4) разность напряжений согласно выражению (5), получим

. (6)

Чтобы проинтегрировать уравнение (6), необходимо иметь зависимость интенсивности напряжений от радиуса. Для этого установим сначала зависимость интенсивности деформаций

(7)

от радиуса.

Деформации и радиальное перемещение связаны соотношениями:

, (8)

Из условия несжимаемости и равенства нулю осевой деформации (2) следует дифферен­циальное уравнение для радиального перемещения

Интеграл имеет вид

. (9)

Из соотношений (8) и (9) получаем выражения для деформаций:

, (10)

а из выражения (7):

(11)

где sgn C – знак постоянной С.

Используя соотношение между деформациями и напряжениями и равенства (2) и (3), получаем Подставив σ_i, ε_t и ε_i по формулам (5),(10) и (11) устанавливаем, что знак χ совпадает со знаком постоянной С, т.е. χ=1sgnC. Введем для удобства новую постоянную С₁

(12)

Тогда зависимость интенсивности деформаций от радиуса принимает вид

(13)

Подставив это выражение в уравнение закона упрочнения, устанавливаем зависимость интенсивности напряжений от радиуса

(14)

что позволяет после интегрирования уравнения (6) получить выражения для радиальных напряжений

(15)

Из соотношений (5), (14) и (15) устанавливаем формулу для окружных напряжений

(16)

Постоянные А, В, С_1, С₂и радиус r_T определяются из граничных условий:

при

при

при

при r = r_T

при

где индексами e и p отмечены напряжения соответственно в упругой и пластической областях.

Из четвертого граничного условия:

(17)

Вместо условия непрерывности окружных напряжений удобнее использовать условие равенства эквивалентного напряжения пределу текучести на границе

(18)

В силу равенства (5) и второго граничного условия окружные напряжения при r=r_T остаются непрерывными. Из равенства (18) получаем Из пятого граничного условия:

а из первого – постоянную С₂

Подставляя найденные значения постоянных A, B, C₁, C₂ во второе граничное условие, получаем уравнение, связывающее радиус r_T и давление p₁ и p₂:

(19)

Отсюда устанавливаем зависимость знака χ от внешней нагрузки. Выражение, стоящее в правой части, положительно, так как λ≤1, r₂>r₁ и r₁≤r_T≤r₂. Знак определяется знаком разности давлений, т.е.

(20)

Подставив в выражения (15) и (16) значения постоянны С₁ и С₂ и используя условие (3), получим формулы для напряжений в пластической области:

(21)

Формулы для напряжений в упругой области выводим, подставив значения постоянных А и В в выражения (1) и учитывая равенство (3):

(22)

Найдем осевую силу N, которая связана с осевыми напряжениями σ_z соотношением

Подставим в него выражения напряжений σ_z согласно формулам (21) и (22). Получаем

Таким образом, для того чтобы осевая деформация была равна нулю, к торцу толстостенной трубы должна быть приложена осевая сила, равная равнодействующей сил внешнего и внутреннего давлений на днище.

Определим радиальное перемещение. Из соотношения (9), учитывая равенство (12) и (17), имеем Это выражение справедливо для упругой и пластической областей.

Посчитаем внутреннее давление. Поскольку p₁>p₂, то на основании (20) устанавливаем, что χ=+1. Из формулы (19) находим p₁=1,46σ_T=1170 МПа.