Выбор структурной схемы скорректированной системы

Задание: выбрать структурную схему скорректированной системы и параметры корректирующих устройств из условия обеспечения заданных показателей качества (Т.Т.Т.): t_пп < t_{пп макс} и σ < σ_доп методом желаемых логарифмических характеристик.

Метод желаемых логарифмических амплитудных характеристик (ЖЛАХ) включает в себя основные этапы [1]:

1) Построение располагаемой ЛАХ нескорректированной системы в разомкнутом состоянии;

2) Построение ЖЛАХ;

3) Определение ЛАХ искомых корректирующих устройств (КУ);

4) Определение передаточной функции КУ и его реализация, т.е. выбор структурной схемы скорректированной системы;

5) Проверочный расчет и построение переходного процесса скорректированной системы.

Для построения располагаемой ЛАХ найдем сопрягающие частоты:

Также определим значение амплитуды при lg(ω)=0:

ЖЛАХ формируется из условия обеспечения заданных показателей качества переходного процесса. Она условно разбивается на три асимптотические составляющие: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную, каждая из которых определяет соответствующе динамические свойства системы автоматического управления.

Низкочастотная составляющая ЖЛАХ будет проходить через точку с координатами (0, 20lg(K_оуK_уK_иу)) и иметь наклон -20 дб/дек, т.к. по условию требуется первый порядок астатизма системы.

Вид среднечастотной составляющей определяют требуемые запасы устойчивости, перерегулирование и время переходного процесса. Этот участок будет иметь наклон -20 дб/дек и пересекать ось частот при некотором значении ω_ср. Границы среднечастотного участка определяются значением запаса устойчивости по амплитуде L₁ = |L₂|.

Высокочастотная составляющая ЖЛАХ проводится параллельно высокочастотному участку располагаемой ЛАХ, т.к. не оказывает существенного влияния на характер переходного процесса.

Определим частоту среза ω_ср и запасы устойчивости по амплитуде L₁=|L₂| и по фазе μ с помощью номограмм Солодовникова [2].

Рис.5.1 – Номограммы Солодовникова.

Из номограмм видно, что запас устойчивости по амплитуде, при заданном значении σ_доп = 27% (табл.1), равен L₁ = |L₂| = 18 дб, а запас устойчивости по фазе μ = 50̊. Время переходного процесса . Значение t_п задано по условию (табл.1) и равно 0.85 с.

Следовательно можно выразить =14.12 с^-1.

По найденной частоте положительности ω_п определяется частота среза ω_ср так, чтобы она удовлетворяла условию ω_ср=(0.6÷0.9)ω_п. Отсюда получу ω_ср = 12.708 с^-1 и lg(ω_ср) = 1.104.

Произведу построение располагаемой и желаемой логарифмических амплитудных характеристик и получу:

Рис.5.2 – Графики располагаемой, желаемой ЛАХ и ЛАХ корректирующего устройства.

Желаемая передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:

где W_расп(s) – передаточная функция располагаемой системы;

W_ку(s) – передаточная функция корректирующего устройства.

Тогда ЛАХ желаемой системы будет определяться по формуле:

Отсюда получу формулу, по которой построю график ЛАХ корректирующего устройства на (рис.5.2):

Далее по графику ЛАХ корректирующего устройства (рис.5.2) определю его передаточную функцию:

(5.1)

Найду неизвестные мне постоянные времени T₁, T₃, T₅ по формуле:

Все требуемые значения ω_i найду из графика ЛАХ корректирующего устройства (рис.5.2):

lg(ω₁) = -0.7,

lg(ω₃) = 0.24,

lg(ω₅) = 2.

Тогда получу:

Значения Т₂=Т_оу=0.77 и Т₄=Т_иу=0.38 даны по условию (табл.1).

Подставив найденные величины в формулу (5.1) и раскрыв скобки, получу:

Запишу передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы W_ск(s):

Раскрыв скобки и подставив известные числовые значения, получу:

(5.2)

Тогда передаточная функция замкнутой скорректированной системы Ф_ск(s):

(5.3)

Проверю полученную замкнутую скорректированную систему на устойчивость с помощью ЦВМ:

Рис.5.3 – Проверка системы на устойчивость по критерию Гурвица.

Рис.5.4 – График переходного процесса замкнутой скорректированной системы.

Численные значения функции h(t)			Таблица 5.1
		0.936	1.017
0.069	0.753	1.006	1.015
0.139	1.071	1.075	1.013
0.208	1.085	1.162	1.012
0.277	1.083	1.231	1.009
0.364	1.059	1.3	1.007
0.433	1.051	1.37	1.007
0.503	1.042		1.0017
0.590	1.036	2.36	1.0008
0.676	1.03	2.4	1.0007
0.763	1.025	2.7	1.0003
0.850	1.021

По графику (рис.5.2) оценю качество переходного процесса. Получу следующие значения перерегулирования σ и времени переходного процесса t_пп:

Отсюда делаю вывод о том, что качество полученного переходного процесса полностью удовлетворяет требуемому: t_пп < t_{пп макс} и σ < σ_доп.