Связь криволинейных интегралов первого и второго рода

Пусть на плоской кривой Г даны две произвольные точки и (см. рис. 12). Обозначим через длину кривой между точками и , через - абсциссу вектора , а через - его ординату. Из криволинейного треугольника (см. рис. 14) по теореме Пифагора получаем: Пусть - угол между вектором и осью абсцисс, а - угол между касательной к кривой Г в точке (предельным направлением вектора при ) и положительным направлением оси. Тогда при имеем . Кроме того, при малом значении можно считать, что . Поскольку то при получаем:

Рис. 12. К выводу формулы связи криволинейных

интегралов первого и второго рода.

В случае пространственной кривой касательная в точке (предельное положение луча, направленного по вектору образует с координатными осями OX, OY, и OZуглы , соответственно, а вектор образует с теми же осями углы (см. рис. 13). При этом

а Тогда в пределе при получаем:

Подставив эти соотношения в интегральные суммы для криволинейных интегралов первого и второго рода, приходим при (а значит, и ) к равенству соответствующих интегралов:

(1)

где - функции точки М.

Рис. 13. К выводу формулы связи криволинейных

интегралов первого и второго рода.

Замечание. В двумерном случае (см. рис. 12) связь криволинейных интегралов первого и второго рода определяется формулой, аналогичной (1):

2.5. Физические приложения криволинейного интеграла второго рода.
Начнём с вопроса о работе силы при перемещении материальной точки вдоль

некоторой траектории. В самом простом случае, когда точка перемещается вдоль прямой, а сила направлена в сторону движения точки, работа равна модулю силы, умноженному на величину перемещения . Если вектор составляет с направлением движения точки угол , но сама сила постоянна, то , т.е. работа равна произведению тангенциальной составляющей силы на величину перемещения. То же самое можно записать в виде скалярного произведения

(см. рис. 14).

Рис. 14. Рис. 15.

Теперь предположим, что движение происходит не по прямой, а по криволинейной траектории, а сила зависит от положения материальной точки .Чтобы сохранить предыдущие рассуждения, следует разбить траекторию на малые части,

причём каждую часть можно считать прямолинейной, а силу в пределах это части - постоянной, тогда на частичной дуге траектории работа силы равна (см. рис.15). Точка может быть выбрана любая в пределах данной частичной дуги (в силу малости дуги сила не зависит от выбора этой точки). Чтобы получить работу силы на всей траектории, нужно суммировать работы на всех частичных дугах:

Чтобы равенство стало точным, следует перейти к пределу разбиения траектории на бесконечно малые части. Предел является криволинейным интегралом второго рода: