Тема 1.1.5. Число элементов в объединении и разности конечных множеств(1ч.)

Нам известно, как находят объединение двух конечных непересекающихся множеств. Например, если А = {x,y,z}, а В = {k,l,m,p }, то Ах В = {х, у, z, к, I, т, р). Чтобы ответить на вопрос: «Сколько элементов в полученном множестве?» -достаточно пересчитать их.

А как определять число элементов в объединении конеч­ных множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?

Условимся предложение «Множество А содержит а эле­ментов» записывать в таком виде: п(А) = а. Например, если А = {х, у, z}, то утверждение «Множество А содержит три элемента» можно записать так: п(А) = 3.

Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В - b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержит­ся а + b элементов, т.е.

п(А В)= n(A) +n(B)=a+b и если А = {x,y,z}, а В = {k,l,m,p }, то а+в=3+4=7

Это правило нахождения числа элементов в объединении двух конечных непересекающихся множеств.

1 пример: А = {х, у, г, р, /}, а В = {х, р, t}. Найдем чис­ло элементов в дополнении подмножества В до множества А.

Пересчитав элементы множеств А и В, получаем, что п(А) = 5, п(В) = 3. Тогда п(В'_А) = п(А) - п{В) = 5-3 = 2. Таким образом, в дополнении множества В до множества А содер­жится два элемента.

Формула позволяет находить число элементов в объе­динении конечных непересекающихся множеств.

2 пример: А если мно­жества А а В имеют общие элементы, то как найти число эле­ментов в их объединении?

п(А В) = п(А) + п(В) - п(А В)

Пусть А={x,y,z}, а В = { k,у,х,m,p }, тогда : n(А В)=6 , т.к. п(А) = 3, п(В) = 5 , n(А В)=2, и п(А В) = п(А) + п(В) - п(А В)=3+5-2=6

Если же мн-ва не пересекаются, то n(А В)=0 и мы придем к формуле:

п(А В)= n(A) +n(B)=a+b

Задача: Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 - немецкий язык, а 15 - английский и немецкий язы­ки. Сколько студентов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?

Решение. Пусть А - множество студентов курса, изу­чающих английский язык, В - множество студентов курса, изучающих немецкий язык. По условию задачи: п(А) = 32 , п{В)= 21, п(А В) = 15. Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.

1 способ.

1) Найдем число элементов в объединении данных мно­-
жеств А и В. Для этого воспользуемся формулой (2):

п(А В)= п(А) + п(В) – п(А В) = 32 + 21 - 15 = 38.

2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки: 40 - 38 = 2.

2 способ.

1) Изобразим данные множества при помощи кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств (рис.). Так как в
пересечении множеств А и В со­ держится 15 элементов, то студен­тов, изучающих только англий­ский язык, будет 17 (32- 15 = 17), а студентов, изучающих только немецкий - 6 (21 - 15 = 6). Тогда п(А В) = 17 + 15 + 6 = 38, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет 40 - 38 = 2.,т.к. n(С)=40

Упражнения

1. Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной сек­ции, 15 - в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той, и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в во­лейбольной, ни в баскетбольной секции?

2. В третьем классе дети коллекционируют марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты - 5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? только монеты?

3.Катя положила в коробку 4 зеленых круга, 6 треуголь­ников и 3 красных многоугольника. Всего в коробке оказа­лось 11 фигурок. Сколько среди них красных треугольников?

Контрольная работа №1