Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Вопросы к экзамену по математике

ФАМ (1 семестр)

Линейная алгебра. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1. Матрицы и определители. Вычисление и свойства определителей. Операции над матрицами.

2. Обратная матрица. Ранг матрицы. Эквивалентные преобразования матрицы.

3. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

4. Векторы. Множество всех геометрических векторов. Линейные операции над векторами. Базис и координаты вектора.

5. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Определение, свойства, вычисление в прямоугольном базисе, приложения.

6. Линейные пространства. Пространство . Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и координаты вектора.

7. Линейные преобразования (операторы). Собственные векторы линейного оператора. Квадратичные формы.

8. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости в . Взаимное расположение двух плоскостей.

9. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в . Взаимное расположение двух прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости.

10. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой в . Взаимное расположение двух прямых.

11. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Определение, канонические уравнения.

12. Поверхности второго порядка. Метод сечений.

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

13. Множества. Понятие функции. Обратная и сложная функции. Основные элементарные функции и их графики.

14. Последовательности. Предел последовательности. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число .

15. Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Основные теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Непрерывность функции.

16. Производная функции (определение, геометрический и физический смысл). Уравнение касательной. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Связь непрерывности с дифференцируемостью функции.

17. Дифференцирование обратных, сложных, параметрически заданных и неявных функций.

18. Дифференциал функции. Формула для приближенных вычислений.

19. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

20. Теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.

21. Исследование функций с помощью производных. Экстремумы функции, точки перегиба графика функции.

 

1. Дана матрица . Вычислить , где – единичная матрица.

2. Дана матрица . Найти , где – транспонированная матрица.

3. Вычислить ранг матрицы .

4. Найти обратную матрицу

5. Решить матричное уравнение .

6. Решить систему по правилу Крамера и методом Гаусса: .

7. Установить, при каком значении векторы , , будут линейно зависимы.

8. Даны вершины треугольника . Найти расстояние от точки N до медианы KM.

9. Даны вершины пирамиды A (3; 1; 4), B (-1; 6; 1), C (-1; 1; 6), D (0; 4; -1). Найти уравнение и площадь грани ABC, угол между рёбрами AB и AD, объем пирамиды ABCD, канонические уравнения высоты DH, координаты точки H.

10. Составить уравнение окружности, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

11. Определить вид кривой и изобразить её.

12. Найти пределы функций: ; ; .

13. Найти пределы функций: .

14. Используя таблицу и правила дифференцирования, найти производные функций:

15. Вычислить если .

16. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

17. Найти :

18. Найти производные второго порядка функций: .

19. Найти дифференциал первого порядка функции

20. Найти экстремумы функций и точки перегиба графиков функций:

 

Литература

1. Векторная алгебра [Электронный ресурс]: учебно-метод. пособие по дисциплине "Математика": для студентов инженерно-технических специальностей / ВятГУ, ФПМТ, каф. ВМ; cocт. Д. А. Даровских. – Киров: [б. и.], 2010. – 28 с.

2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. - М.: Астрель: АСТ, 2005. – 992с.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов: В 2 ч. Ч. 1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова - М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. – 306c.

4. Линейная алгебра [Электронный ресурс]: учебно-метод. пособие по дисциплине "Математика": для студентов инженерно-технических специальностей / ВятГУ, ФПМТ, каф. ВМ; cocт. Д. А. Даровских. – Киров: [б. и.], 2010. – 29 с.

5. Математический минимум: учебно-методическое пособие для подготовки к зачетам и экзаменам по дисциплине "Математика": для студентов инженерно-технических специальностей / ВятГУ, ФПМТ, каф. ВМ; cocт. Г. С. Борисова [и др.]. – Киров: [б. и.], 2010. – 47 с.

6. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: учеб. пособие: В 2 ч. Ч 1 / Д. Т. Письменный - М.: Айрис-пресс, 2004. – 288с.

7. www.mathprofi.ru

8. www.exponenta.ru

 

 

Экзаменационный билет содержит 5 практических заданий из разных тем курса (по 4 балла) и один теоретический вопрос (5 баллов). На экзамене можно набрать 25 баллов. Допуск до экзамена – 30 баллов, набранные в семестре.