Разрыв с конечным скачком

Раздел 7. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

 

1. Понятие непрерывной функции

2. Устранимый разрыв:

3. Разрыв с конечным скачком.

4. Разрыв с бесконечным скачком

5. Важное свойство функций, непрерывных на промежутке

 

Понятие непрерывной функции

 

В предыдущих параграфах мы познакомились с важнейшим понятием математического анализа – пределом функции. При этом мы могли вычислять и в том случае, когда существует, и в том случае, когда не существует. Изучим подробнее эти два случая.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если определена в этой точке, т.е. существует, причём

(1)

т.е. «предел функции в точке равен значению функции в этой точке».

Определение. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Непрерывность является важнейшим свойством функций. Если равенство (1) не выполняется, то функция называется разрывной в точке

Для того, чтобы лучше усвоить понятие непрерывности функции в точке, рассмотрим все случаи нарушения непрерывности или, как говорят, проведём классификацию точек разрыва.

Сначала отметим теорему: все элементарные функции непрерывны в своей области определения. Элементарными функциями называются упомянутые нами три класса функций, включая и их различные комбинации.Например, функция элементарная функция.

Исследование на непрерывность элементарных функций, в соответствии с последней теоремой, начинаем с нахождения области определения - находим точки, в которых функция не определена, следовательно, разрывна. Далее выясняем вид разрыва (или, как говорят, характер равенства).

2. Устранимый разрыв:

 

Функция не определена в точке , но существует и конечный.

Пример 1:

Ясно, что - не существует, но по первому замечательному пределу . Для наглядности нетрудно построить график этой функции:

 

1

-2 0 2 3 х

 

 

Рис. 1

График пересекает ось в точках постепенно «затухая». При приближении к нулю (предел!) обе ветви «стремятся» к точке , но в самой точке функция не определена (для обозначения этого факта поставим стрелки – точка выкалывается).

Получается, что этот разрыв можно устранить – надо восстановить выколотую точку. Другими словами, функция уже будет непрерывной.

Разрыв с конечным скачком.

Сначала построим график функции (рис.2)

 

1

0 0 1

-1

 

Рис. 2 Рис. 3

Видим, что функция (благодаря присутствия модуля) задаётся двумя аналитическими выражениями: при и при График состоит из двух ветвей.

Ещё пример: при вычислении пределов мы писали: .

Однако, легко построить график функции (рис. 3) и увидеть, что при левая ветвь уходит вниз (стремится к минус бесконечности), а правая ветвь уходит вверх (стремится к плюс бесконечности). Таким образом, желательно уточнять знак бесконечности. С этой целью вводятся понятия односторонних (левосторонних и правосторонних) пределов.

Определение. Рассмотрим Пусть аргумент стремится к числу слева, т.е. оставаясь всё время меньше Такой предел называется левосторонним и обозначается .

Аналогично определяется правосторонний предел или .Совершенно понятно, что если существует, т.е. равен числу, то оба односторонних предела существуют и равны. Поэтому получаем определение непрерывности в равносильной форме:

Функция называется непрерывной в точке , если (3)

или более компактно – если «предел слева равен пределу справа и равен значению функции в данной точке».

Определение (3) является самым удобным для классификации точек разрыва.

Определение. Если оба односторонних предела в точке существуют, т.е. равны конечным числам, но не равны, то называется точкой разрыва I рода с конечным скачком, а разность называется скачком функции в данной точке.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Мы видим, что функция задана несколькими аналитическими выражениями. По этой причине она не является элементарной функцией - она составлена из трёх частей элементарных функций. Как говорят, она склеена из трёх ветвей элементарных функций.

Каждая из функций, входящих в задание функции является элементарной, причём всюду непрерывной функцией. Поэтому точками, «подозрительными» на разрыв, являются точки, в которых функция меняет своё аналитическое выражение (иначе говоря, точки «склеивания» функций). В нашем примере таких точек две: и для каждой из них проверяем условия непрерывности (3).

Имеем в точке разрыв с конечным скачком, скачок (см. рис.4).

Исследуем

По определению (3) функция в точке непрерывна.

 

Нетрудно построить график этой функции (рис. 4).

Мы рекомендуем такие примеры начинать с построения графика функции, и по графику проверять своё исследование на непрерывность.

 

2 -x+3

1

0 1 2 3

1

 

 

Рис. 4