Раскрытие неопределённостей от алгебраических функций

Раздел 6. Введение в математический анализ.

1. Предел функции.

2. Раскрытие неопределённостей от алгебраических функций

3. Раскрытие неопределённостей от тригонометрических функций

4. Раскрытие неопределённостей от показательных и логарифмических функций

В данном разделе рассмотрена основная теория математики – теория пределов. Эта теория является фундаментом, на котором построено великолепное сооружение, носящее название «математический анализ».

Математический анализ в настоящее время является незаменимым инструментом исследования в самых различных областях науки и техники. Знания дифференциального и интегрального исчисления сейчас необходимо каждому инженеру и научному работнику. Но для того чтобы изучить математический анализ и научиться правильно его применять, необходимо сначала освоить теорию пределов.

Начало изучения теории пределов положено в элементарной математике, где с помощью предельных переходов определяется длина окружности, объем цилиндра, конуса и т.д. операция предельного перехода является одной из основных операций математического анализа.

Понятие предела часто используется в повседневной жизни. Оно ассоциируется в нашем сознании с числом, к которому приближается значение переменной величины, оставаясь или меньше этого числа, или больше, или изменяясь, принимая то большие , то меньшие значения.

 

Предел функции

Одним из важнейших понятий математического анализа является понятие предела функции: – «предел функции при , стремящемся к числу ».,с которым знакомятся уже в школе. Строгое понятие предела мы рассматривать не будем – ведь нашей задачей является научиться вычислять пределы.

Первое правило, которое мы всегда будем применять при вычислении пределов состоит в том, что начинать вычисление пределов надо с подстановки предельного значения аргумента в функцию, стоящую под знаком предела, т.е. с вычисления Если существует, то это число и есть искомый предел.

 

Пример 1. Вычислить .

Решение.

Пример 2. Вычислить .

Решение.

Определение. Если , то функция называется бесконечно малой (б.м.) при .

Так, в примере 2 функция является бесконечно малой (б.м.) при . Заметим, что понятие передела, следовательно, и понятие б.м. функции является локальным понятием, т.е. применённым к определенной точке. В примере 2 функция уже не является б.м., например, при , т.к. но она вновь становится б.м. при

Определение. Если функция – б.м. при , то функция называется бесконечно большой (б.б.) при и это обозначается символом бесконечности следующим образом:

Если функция - б.б. при , то функция - б.м. при и это записывается следующим образом:

Пример 3.

Пример 4.

 

Заметим, что в курсе элементарной математики мы говорили, что «котангенс нуля не существует». Теперь ещё будем говорить, что «котангенс нуля равен бесконечности», что хорошо соответствует графику котангенса – при ветви котангенса неограниченно уходят вверх и вниз, т.е. котангенс неограниченно возрастает или убывает («стремится к плюс или минус бесконечности»).

Итак, если при функция неограниченно возрастает (или убывает), кратко записываем, что Рассмотрим более интересные примеры.

Пример 5. Вычислить

Решение: Начинаем с подстановки предельного значения аргумента:

 

Что же мы должны записать в ответе? Вспоминаем школьное правило: «ноль, делённый на любое число даёт ноль» и только что приобретённое: «любое число, делённое на ноль даёт бесконечность». Получаем разные результаты. Такая ситуация называется неопределённостью, в данном случае типа . Мы увидим, что неопределённости могут быть различных типов, и вычисление соответствующих пределов (как говорят, «раскрытие неопределённостей») и составляет нашу основную задачу.

 

В примере 5 это делается следующим образом:

 

 

Прежде чем выстраивать теорию, отметим, что все элементарные функции разбиваются на три группы.

Первую группу составляют алгебраические функции, т.е. функции, которые получаются из аргумента с помощью алгебраических операций, каковыми являются сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Например, - алгебраическая функция.

Вторую группу составляют тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

В третью группу входят показательные функции и обратные к ним -логарифмические функции.

Вспомните школьный курс математики – тригонометрические формулы и формулы для показательных и логарифмических функций находятся изолированно друг от друга – у каждой группы функций свои формулы. По этой причине и раскрытие неопределённостей для разных групп функций проводится специфически.

Раскрытие неопределённостей от алгебраических функций.

 

Начнём с простейшего случая – с отношения двух многочленов:

\Здесь воспользуемся теоремой Безу: если - корень многочлена , то делится без остатка на Поэтому:

 

Именно так мы решили пример 5 и уже на этом примере,

 

,

увидели, что из двух сомножителей в числителе и знаменателе, лишь сомножитель является источником появления неопределённости. После сокращения на этот множитель неопределённость исчезла.

Таким образом, можно обозначить цель наших преобразований: выделить в числителе и знаменателе простейший источник появления определённости: множитель

Пример 6.

 

Нам ясна цель – в числителе и знаменателе выделить множитель , поскольку и числитель и знаменатель делится без остатка на .В числителе удобно применить формулу «разности кубов»: по которой

В знаменателе так просто выделить сомножитель не удаётся, поэтому делим «уголком»:

Деление завершено:

Теперь вычисляем предел:

Пример 7.

Заметим, что в этом примере для того, чтобы числитель и знаменатель разложить на множители с выделением , не обязательно решать квадратные уравнения или делить «уголком», - вторые сомножители легко подобрать. Переходим к более сложным случаям, когда присутствуют радикалы (иррациональности).

 

Пример 8. Вычислить

Решение. Нетрудно обнаружить, что имеем неопределённость типа «ноль делить на ноль» Что делать с числителем нам ясно – надо выделить сомножитель

В знаменателе имеем иррациональность, от которой следует «избавиться», воспользовавшись формулой «разности квадратов» домножим знаменатель на сопряжённое выражение Тогда «избавились» от иррациональности.

Разумеется, чтобы не нарушить равенства в пределе на такое же выражение надо домножить и числитель. В совокупности решение выглядит следующим образом:

 

 

Пример 9.

 

В этом примере мы использовали в числителе формулу «разности кубов».

 

До сих пор мы рассматривали пределы, когда аргумент стремится к конечному числу и различными способами выделяли сомножитель - простейший источник появления неопределённости.

Но сам аргумент может неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности . Рассмотрим такие пределы.

Определение. Пусть имеются две бесконечно малые (б.м.) функции и при (где может быть как конечным числом так и ). Функции и называются эквивалентными б.м. при , если предел их отношения равен единице:

 

Обозначение: при

Теорема 1. Под знаком предела одну бесконечно малую функцию можно заменить другой, ей эквивалентной.

Доказательство. Пусть имеется неопределённость типа

и известно, что при Тогда , т.е. что и требовалось доказать.

 

Мы неоднократно убедимся в полезности этой теоремы. Для бесконечно больших функций аналогично:

определение: Две бесконечно большие (б.б.) функции и при называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице:

Теорема 2. Под знаком предела одну бесконечно большую фукнкцию можно заменять другой, ей эквивалентной.

Доказательство аналогично.

Теорема 3. Всякий многочлен при эквивалентен своему старшему члену.

Доказательство. следовательно, при .

Теперь переходим к примерам.

Пример 10. Вычислить .

Решение. По доказанной теореме 3 многочлен при эквивалентен своему старшему члену: Под знаком предела одну б.б. функцию можно заменять другой, ей эквивалентной. Заменим многочлены их старшими членами и получаем результат. Оформим эти выкладки следующим образом.

Пример 11.

Пример 12.

 

Последние три примера позволяют сформулировать общее правило для предела отношения двух многочленов при :

Пример 13. Вычислить

Решение. В этом примере под знаком предела находятся радикалы (иррациональности).

Во-первых,

 

Во – вторых, теорему 3 очевидно можно обобщить для всякой алгебраической функции: при она эквивалентна своему старшему члену, т.е. члену с наивысшей степенью аргумента. Поэтому

.

Пример 14.