Смешанное произведение векторов и его свойства

Определение. Смешанным произведением трёх векторов (обозначается называется скалярное произведение вектора на векторное произведение , т.е.

(17)

Из формулы (17) следует, что свойства смешанного произведения являются следствиями свойств скалярного и векторного произведений векторов. Перечислим их без доказательств.

Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке сомножителей:

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах:

Из свойства следует, что если векторы лежат в одной плоскости (параллельны одной плоскости, т.е. компланарны), то параллелепипеда на них построить нельзя (его объём равен нулю) и

Таким образом, равенство нулю смешанного произведения есть условие компланарности трёх векторов.

Смешанное произведение в координатной форме. Пусть

Тогда

(18)

Например, пусть тогда

т.е. эти три вектора параллельны одной плоскости (компланарны).

Пример 6. Даны три не компланарных вектора . Выяснить, компланарны ли векторы , ,

Решение. Векторы заданы в бескоординатной форме, поэтому пользуемся определением и правилами оперирования как с многочленами:

, т.к. - некомпланарны.

Ответ: Векторы некомпланарны.

Подводя итог и имея в виду геометрические приложения, запомним, что для вычисления углов и длин используем скалярное произведение; для вычисления площадей - векторное произведение; для вычисления объёмов – смешанное произведение.

Пример 7. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) угол между ребрами и ; 2) площадь грани ; 3) проекцию вектора на вектор ; 4) объём пирамиды ; 5) длину высоты пирамиды, проведённой из точки . .

D

Решение: Сделаем схематический чертёж.

С

Введём векторы , и и

вычислим их координаты, вычитая

из координат конца координаты начала:

А

В

.

 

1) Угол между рёбрами и найдём как угол между векторами и с помощью скалярного произведения:

следовательно

по таблицам находим

2) Площадь грани вычислим с помощью векторного произведения , точнее, с помощью его модуля: Сначала найдём само векторное произведение:

Тогда

21,6 ед.²

3) Проекцию вектора на вектор находим с помощью скалярного произведения:

4) Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах , и , который равен модулю их смешанного произведения. Поэтому сначала находим смешанное произведение:

следовательно,

5) Объём пирамиды равен произведению площади основания на высоту: