РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО ЗАКОНУ ГАУССА (НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ)

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределение по закону Гаусса), если ее плотность вероятности описывается функцией: , где М – математическое ожидание, - дисперсия, -среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Кривая распределения имеет симметричную относительно математического ожидания колоколообразную форму (рис. 5.). Положение и крутизна кривой нормального распределения зависит от ее параметров М и : , .

Попадание случайной величины в любой интервал (a;b) определяется, как и для любой непрерывно распределенной величины по формуле: , т.е. в нашем случае получается , а это «неберущийся» интеграл Гаусса, значения которого можно вычислить по специальной таблице (табл.2.). Т.о., , причем

Пример 16.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с M=3 и σ=2. Найти вероятность того, что Х примет свои значения из интервала (2; 5).

Решение:

Используя формулу вероятности попадание случайной величины в любой интервал (a;b) и значения функции Гаусса из таблицы 2, имеем:

Среди множества значений, которые принимает нормально распределенная случайная величина Х, выделяют 3 стандартных интервала содержащих, соответственно, 68, 95 и 99% всех значений данной случайной величины. Размеры этих интервалов определяются для любой величины ее математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением:

· 1-ый стандартный интервал , причем ;

· 2-ой стандартный интервал , причем ;

· 3-ий стандартный интервал , причем .

Рис. 5. График кривой нормального распределения.

ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РЕШЕННИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Таблица 1.

Значения функции Лапласа

Для вычисления значения функции при отрицательных значениях аргумента используется соотношение .

Таблица 2.

Значения функции для решения задач

На закон нормального распределения