Часть III. ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ движения автомобиля

Цель работы: освоение студентами основных методов динамического расчета механических систем; определение целесообразных областей использования каждого из этих методов.

Основные вопросы, подлежащие разработке:

Задачу решить двумя способами:

- с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы;

- с помощью с помощью дифференциальных уравнений движения механической системы.

В результате выполнения работы должны быть определены все основные параметры динамики движения автомобиля.

Исходные данные:

Условие задачи, схема движения автомобиля, значение параметров в таблице 3 согласно заданию.

3.1. Определение динамических характеристик автомобиля с помощью теоремы об изменении кинетической энергии

Задание. Какой путь s прошел по прямой до остановки автомобиль, если в момент выключения мотора он двигался со скоростью v =72 км/ч=20 м/с. Вес кузова автомобиля с водителем и пассажирами равен =1 кН, вес каждого из четырех колес = 20 Н. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через его центр инерции перпендикулярно к плоскости материальной симметрии, равен = 20 см, радиус колеса r =25 см. Коэффициент трения качения колес о шоссе =0.1 см.

За какое время и на каком расстоянии может быть остановлен тормозом автомобиль, идущий по горизонтальному пути со скоростью v=72 км/ч, если сопротивление движению, развиваемое при торможении, составляет (п – коэффициент пропорциональности, Р - вес автомобиля, С – центр тяжести автомобиля).

Колеса автомобиля катятся без скольжения. Силой сопротивления воздуха пренебречь (рис. 3.1).

Рисунок 3.1

Решение 1. При движении автомобиля направо направление положительного отсчета угла поворота φ колес выбираем по часовой стрелке.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек:

. (3.1)

где - кинетическая энергия автомобиля в первом положении; - кинетическая энергия во втором положении автомобиля; - работа внешних сил, приложенных к автомобилю; - работа внутренних сил, приложенных к автомобилю.

Рисунок 3.2

Изобразим внешние силы, приложенные к автомобилю (рис. 3.2): и - силы тяжести колес; и 2 - нормальные силы реакций, смещенные относительно центра тяжести колес в сторону движения на величину коэффициента трения качения ; 2 и 2 – силы трения колес о шоссе, направленные в сторону, противоположную движению (после выключения двигателя все колеса автомобиля оказываются ведомыми). Внутренние силы не изображаем, считая автомобиль неизменяемой системой и пренебрегая силами внутреннего трения. Следовательно, сумма работ всех внутренних сил автомобиля равна нулю. Теперь уравнение (3.1) принимает вид

. (3.2)

Сумма работ всех внешних сил системы на искомом перемещении s равна

(3.3)

(коэффициенты «4» соответствуют числу колес автомобиля).

Так как разность высот Δh при перемещениях точек приложения сил и 4 равна нулю, то

. (3.4)

При качении колес без скольжения их мгновенные центры скоростей К находятся в точках касания. Силы трения всегда приложены к колесам в точках, совпадающих с мгновенными центрами скоростей К и перемещаются вместе с ними. Мощность этих сил трения, вычисляемая по формуле

где - скорость мгновенного центра скоростей равна .

Следовательно, работа сил трения на конечном перемещении, равная интегралу от мощности по времени, тоже равна нулю:

. (3.5)

Учитывая, что радиусы колес и коэффициенты трения качения для всех четырех колес одинаковы, приводим вычисленные суммы работ пар качения к одному колесу, считая нормальное давление равным . Так как коэффициент трения качения является плечом пары трения качения, то момент пары трения качения будет

.

Элементарная работа пары трения качения равна

(3.6)

(работа отрицательна, так как направление момента пары трения качения противоположно направлению угла поворота φ колес), где dφ - элементарное угловое перемещение колеса вокруг мгновенного центра скоростей К. Учитывая, что dφ связано с элементарным перемещением ds центра тяжести С колеса зависимостью

,

получим

. (3.7)

Подставляя значение dφ из формулы (3.7) в (3.6), находим:

. (3.8)

Для вычисления суммарной работы пары трения качения на конечном перемещении центра тяжести С колеса остается взять от выражения δA по формуле (3.8) определенный интеграл в пределах от 0 до s. После вычислений получим:

. (3.9)

Подставляя значения A(P₁), 4A(P₂), 4A(F_тр), 4A(M_тк) из формул (3.4), (3.5) и (3.9) в (3.3), находим сумму работ всех внешних сил, приложенных к автомобилю на его перемещении, равном s:

. (3.10)

Переходим к вычислению кинетических энергий автомобиля в его начальном и конечном положениях. Так как в конечном положении, т.е. в момент остановки, скорости всех точек равны нулю, то

. (3.11)

Запишем кинетическую энергию автомобиля, состоящего из кузова с водителем и пассажирами и четырех колес, в виде

. (3.12)

Кузов с водителем и пассажирами совершает поступательно движение, поэтому

. (3.13)

Колеса совершают плоское движение, поэтому

; (3.14)

так как

,

то формула (3.14) принимает вид

. (3.15)

Внося значения и 4 из формул (3.13) и (3.15) в (3.12), находим кинетическую энергию автомобиля в ее начальном положении:

. (3.16)

Подставляя значения , и из формул (3.10), (3.11) и (3.16) в уравнение (3.2) и решив это уравнение относительно s, получим:

м.

3.2. Определение динамических характеристик движения автомобиля с помощью дифференциальных уравнений

Решение 2.За ось координат примем ось х, направленную вдоль пути торможения автомобиля. Начальными условиями будут: , , . Задаваемые силы – вес автомобиля и сила сопротивления движению при , . Дифференциальное уравнение движения автомобиля будет иметь вид (рис. 3.2):

.

Интегрируем это уравнение дважды и получаем:

.

По начальным условиям находим постоянные интегрирования и :

,

Тогда

.

По условию задачи требуется найти время остановки автомобиля, т.е. при v=0 ( ). Из первого уравнения находим это время:

с.

Подставляя во второе уравнение движения автомобиля, находим путь пройденный автомобилем до полной остановки:

м.

Таблица 3 – Номера вариантов и исходные данные