Стационарное состояние оптического квантового генератора (лазера)

Ю.П.Головатый

 

 

Методы решения нелинейных уравнений

 

Методические указания к лабораторной работе №4

по «Основам проектирования наноприборов и систем на их основе»

 

Калуга

2013 г.

УДК 621.382

Данные методические указания издаются в соответствии с учебным планом специальности 152200.62

 

 

Указания рассмотрены и одобрены: кафедрой «Материаловедение»

Протокол №_________ от _______________

 

Заведующий кафедрой ____________________ В.Г.Косушкин

 

 

Методической комиссией Калужского филиала

Протокол №__________от ________________

 

Председатель Методической

комиссии _______________ М.Ю. Адкин

 

 

Рецензент: д.т.н., профессор кафедры ФН2-КФ

 

________________

 

 

Автор: ст. преподаватель _______________ Ю.П. Головатый

 

 

Аннотация.

 

В данной лабораторной работе рассмотрены методы численного решения нелинейных уравнений. Основное внимание уделено наиболее распространенному методу Ньютона-Рафсона.

 

© Калужский филиал МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013 г.

© Головатый Ю.П.

 

 

Оглавление

1. Цель работы.

2. Примеры нелинейных уравнений в задачах проектирования наноприборов

3. Методы численного решения нелинейных уравнений.

4. Задания и порядок выполнения работы.

 

 

Цель работы.

 

Цель работы: освоить метод Ньютона-Рафсона решения нелинейных уравнений и систем.

Примеры нелинейных уравнений в задачах проектирования наноприборов.

Нелинейные уравнения встречаются очень часто при решении прикладных задач в различных областях техники и технологии. Ниже приведены два примера применения нелинейных уравнений в электронной технологии и электронике.

 

Определение глубины залегания p-n – перехода.

 

Диффузионные p-n – переходы получают посредством диффузии из поверхностного источника либо акцепторных атомов в полупроводник n-типа, либо донорных атомов в полупроводник p-типа. Металлургическая граница p-n - перехода есть поверхность, на которой концентрации доноров и акцепторов равны.

Рассмотрим одномерную задачу (рис.1). В полубесконечный полупроводник, однородно легированный донорами до концентрации , производится диффузия доноров из поверхностного источника с концентрацией . Распределение доноров через даётся функцией

(1)

где - коэффициент диффузии.

Рис. 1. Распределение диффундирующей примеси в полубесконечном полупроводнике

 

Уравнение для определения глубины залегания p-n – перехода имеет вид

(2)

Или (3)

Оно не может быть решено аналитически, поэтому приходится прибегать к численным методам.

 

Стационарное состояние оптического квантового генератора (лазера)

 

Плотность инверсной населённости электронов и плотность фотонов в резонаторе лазера подчиняются скоростным уравнениям

(4)

где - плотность мощности накачки (число инверсных электронов, созданных в единице объёма активной области за единицу времени), - спонтанное время жизни инвертированного электрона, - время жизни фотона в лазерном резонаторе, - коэффициент Эйнштейна, - коэффициент оптического ограничения лазерного резонатора.

Скоростные уравнения в пределе превращаются в алгебраические,

(5)