Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли

Пусть производится серия из n ‒ независимых испытаний (опытов), в каждом из которых событие A наступает с вероятностью р. Тогда вероятность того, что событие A не произойдет, обозначим: q=1 ‒ p.

Вероятность того, что при n ‒ испытаниях событие произойдет ровно m ‒ раз, находится по формуле Бернулли:

‒ формула Бернулли.

Пример.

Вероятность попадания мяча в кольцо составляет:

Вероятность промаха мяча в кольцо составляет

Найти:

1. Вероятность того, что при 7 бросках мяч попадет 4 раза (событие A).

2. Вероятность того, что мяч попадет не менее 4-х раз, то есть или , или , или , или .

Решение:

 

Наивероятнейшее число наступлений события (число успехов).

Определение.Число наступления события A в n ‒ независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события, по крайней мере, не меньше вероятностей других событий.

Наивероятнейшее число наступления события (число успехов) удовлетворяет следующему неравенству:

где ; вероятность наступления события в отдельном испытании.

Пример.Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали . Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди пяти отобранных и выбрать среди них наивероятнейшее число бракованных деталей.

Решение:

1 способ.

вероятность изготовления стандартной детали.

;

вероятность появления брака.

Тогда

Следовательно, наивероятнейшее число бракованных деталей .

2способ.

Оценим с помощью неравенства:

Следовательно, , множество целых чисел.

 

Приближенная формула Муавра ‒ Лапласа (локальная).

При большом значении n применение формулы Бернулли затруднительно. Тогда используют формулу Муавра‒ Лапласа. Муавр доказал частный случай для p =1/2.

где

‒ функция Лапласа, значения в таблице № 1.

если ,

Пример.

Установлено, что 94% лиц, которым сделали прививку от туберкулеза, приобретают иммунитет. Найти вероятность того, что среди 100 000 граждан, которым делали прививки, 5800 не защищены от туберкулеза.

Решение:

 

Интегральная формула Лапласа.

Если требуется найти вероятность того, что при n ‒ испытаниях событие наступит не меньше a ‒ раз и не больше b ‒ раз, то применяют интегральную формулу Лапласа:

,

где

‒ интегральная функция Лапласа, значения в таблице № 2.

Ф(‒х) = ‒ Ф(x) ‒ функция нечетная.

При х

Пример.

Из каждых 100 семей 80 имеют телефоны.

Найти вероятность того, что:

1. Из каждых 400 семей 300 имеют телефоны.

2. От 300 до 360 семей из каждых 400 имеют телефоны.

3. Не менее 360 семей из 400 семей имеют телефоны ( )

Решение:

1.

2.

3. Так как , то

 

Формула Пуассона.

Если p (начинается с сотых долей), то формула Муавра ‒ Лапласа дает большую погрешность по сравнению с формулой Бернулли. В этом случае пользуются формулой Пуассона:

где λ= np‒ параметр Пуассона, где ≤ 10.

Пример.

На факультете 1825 студентов. Какова вероятность, что 1-е сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение: Вероятность того, что день рождения студента 1-го сентября ‒ мала, n = 1825 ‒ велико, λ = np = 5 ≤ 10. Следовательно, воспользуемся формулой Пуассона: