Условие прочности вала при кручении

В предыдущем параграфе мы увидели, что наибольшие касательные напряжения действуют в точках на наружной поверхности вала, где ρ = ρ_max = d/2 для вала сплошного поперечного сечения и ρ = ρ_max = D/2 для вала с поперечным сечением в форме кольца. Перепишем формулу (7.4) так:

,

или

(7.7)

Формула (7.7) позволяет вычислять только максимальные касательные напряжения. В этой формуле W_ρ – полярный момент сопротивления поперечного сечения вала кручению. Для сплошного и кольцевого сечений имеем:

(7.8)

Теперь можно составить условие прочности материала в таком виде:

, (7.9)

где R_ср – расчетное сопротивление материала вала на срез;

Условие прочности (7.9) позволяет решать три типа задач.

1. непосредственно по формуле (7.9) выполнять поверочный расчет;

2. находить грузоподъёмность вала;

3. определять диаметр вала:

а) сплошной вал:

подставим первую формулу (7.8) в (7.9) получаем:

из последнего выражения следует, что диаметр

(7.10)

б) вал кольцевого сечения:

после подстановки второй формулы (7.8) в (7.9) получим аналогично:

(7.11)

Закон Гука при кручении

Возвратимся к промежуточной формуле (7.3). С учетом, того, что , запишем

(7.12)

Из формулы (7.12) вытекает:

(7.13)

При наличии нескольких участков вала:

(7.14)

Формулы (7.13, 7.14) представляют закон Гука при кручении. Интегрирование в них выполняется по длине каждого участка l_i вала. В случае если М_z = const и GJ_ρ = const, формула (7.14) заменяется такой суммой:

(7.15)

Таким образом, формула (7.15) позволяет определять абсолютные углы закручивания валов ступенчато переменной жесткости в пределах упругости.

Условие жесткости вала

Жесткость оценивается по относительному углу закручивания каждого участка вала, т.е.

, (7.16)

где [θ] - допустимая сколь угодно малая величина относительного угла закручивания. С учетом формул (7.5) и (7.6) диаметры сплошного и кольцевого сечений по условию жесткости (7.16) можно определить так:

; . (7.17)

Потенциальная энергия упругой деформации при кручении

При определении потенциальной энергии деформации при кручении вала будем предполагать работу его материала в рамках закона Гука. В этом случае существует пропорциональная зависимость между абсолютным углом закручивания φ и крутящим моментом М_z. Диаграмма кручения показана для этого случая на рис. 7.8.

Работа внешних сил А затраченная на закручивание, равна потенциальной энергии U, накопленной в стержне.

А = U

Работа А численно равна заштрихованной площади диаграммы кручения.

А=U=½М_zφ (7.18)

Подставляя вместо М_z или вместо угла закручивания φ в соответствии с формулой (7.15), получим

(7.19)

В случае вала ступенчато переменной жесткости формула потенциальной энергии будет иметь вид:

, (7.20)

где i - номер ступени вала.